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共立講座 数学探検 (学部1、2年次対象)【全18巻】

編集委員:新井仁之・小林俊行・斎藤毅・吉田朋広

刊行にあたって

数学の入り口を興味に応じて自由に探検できる出会いの場です。定番の教科書で基礎知識を順に学習するのだけが数学の学び方ではありません。予備知識がそれほどなくても十分に楽しめる多彩なテーマが数学にはあります。

数学に興味はあっても基礎知識を積み上げていくのは重荷に感じられるでしょうか?そんな方にも数学の世界を発見できるよう、大学での数学の従来のカリキュラムにはとらわれず、予備知識が少なくても到達できる数学のおもしろいテーマを沢山とりあげました。 そのような話題には実に多様なものがあります。時間に制約されず、興味をもったトピックを、ときには寄り道もしながら、数学を自由に探検してください。数学以外の分野での活躍をめざす人に役立ちそうな話題も意識してとりあげました。 本格的に数学を勉強したい方には、基礎知識をしっかりと学ぶための本も用意しました。

本格的な数学特有の考え方、ことばの使い方にもなじめるように高校数学から大学数学への橋渡しを重視してあります。興味と目的に応じて,数学の世界を探検してください。

お知らせ

「数学の輝き」の内容紹介とキーワードを公開しました
探検・魅力の内容紹介とキーワードを公開しました
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1

微分積分

吉田 伸生 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11174-5
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

本書は大学の理科系学部生を対象とした微分積分学入門である.極限の厳密な定義から出発し,一変数の微積分を丁寧に解説した後,多変数の微積分の基礎まで進む.抽象的な概念や定理が出てくる毎に,それらの意味を,具体例を通じ一歩一歩踏み固めながら進む.厳密な論理の美しさが分かりやすく伝わるように工夫すると同時に,応用分野との関連,微積分学の歴史にも適宜触れる.初学者から教員まで,様々な目的で本書を手にとられる方々が,それぞれの立場で楽しんで頂ける本にしたい.

【キーワード】

極限,連続,単調列定理,中間値定理,べき級数,初等関数,微分法,平均値定理,積分法,微積分学の基本公式,テイラーの定理,広義積分,偏微分,全微分,極値問題,極座標,逐次積分

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2

線形代数

戸瀬 信之 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11175-2
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

理工系の様々な場においてモデルを記述するためには1次式と2次式が基本である.この1次式と2次式の記述に必要な様々なツールであるベクトル,行列,行列式の基本的な性質を学び,それをもとに得られる多くの数学的な感興に触れるのが本書の目的である.なるべく多くの実例を与え,必要ならば2次元や3次元の具体的な記述を行ったりして,抽象的な内容を深く理解するできるように配慮している.

【キーワード】

ベクトル,行列とそのランク,行列式,掃き出し法,部分空間とその次元,線形座標変換,固有値問題,2次形式,ジョルダン標準形

  目次

3

論理・集合・数学語

石川 剛郎 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11176-9
判型A5
ページ数208ページ
発売日2015年12月20日
本体価格2,300円
【内容紹介】

数学の本を読むとき,著者の言いたいことがわかりたい.数学の講義・講演を聴いてもっと良く理解したい.数学のレポートや論文を上手にまとめたい.説明の組み立て方を知りたい.試験の答案をうまく書いてみたい.そういうときには,必要な知識とスキルというものが確かに存在する.本書は,そのための「数学語」の知識,そして数学の基礎的なスキル,特に,論理と集合のスキルを身につけるために,ていねいに書かれた「基礎数学スキル強化本」である.

【キーワード】

成り立つ,ならば,命題,対偶,背理法,エプシロン・デルタ論法,空集合,同値関係,関数,写像,分析的数学読書術,有名な予想

  目次

4

複素数入門

野口 潤次郎 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11177-6
判型A5
ページ数160ページ
発売日2016年05月12日
本体価格2,300円
【内容紹介】

本書の目的は,複素関数論あるいは複素解析学に入る前の段階までの数(カズ)としての複素数の解説を厳密性を維持しながらできるだけ平易にすることである.新しい工夫としては,複素数と「定規とコンパス」の組み合わせを強調したことと通常の教科書ではあまり触れられることのない数の超越性(例えば,eやπの初等的証明を紹介した点である.定規とコンパスを用いて非ユークリッド双曲幾何学を紙上に実現するという体験を通して新しい概念を身につけて欲しい.

【キーワード】

複素数,虚数,有理数,無理数,実数,代数方程式,代数学の基本定理,e・πの超越性,リーマン球面,一次変換,双曲幾何学

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5

代数入門

梶原 健 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11178-3
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

整数や多項式など,身近な題材を代数学の観点から学び直し,少しずつ高度な内容へ進み,代数学の初歩を具体的に学ぶ入門書である.例えば,無限に足して現れる対称性を観察して,代数学の自由な発想を学び,あみだくじをパズルや方程式に応用して,代数学の見方を学ぶ.代数学の勉強を始めたい人,抽象的な概念を解読したい人,高校数学に続けて数学を探究したい人,代数学の考え方を身に付けたい人にお薦めである.

【キーワード】

整数,複素数,多項式,因数分解,互除法,対称式,判別式,形式べき級数,環,体,有限体,群,あみだくじ,加群,単因子,イデアル,零点定理

  目次

6

初等整数論 ―数論幾何への誘い―

山崎 隆雄 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11179-0
判型A5
ページ数256ページ
発売日2015年05月24日
本体価格2,500円
【内容紹介】

abc予想は整数論の最先端の話題である.しかし,その主張を述べるだけなら予備知識はほとんど必要なく,またabc予想の多項式に対する類似であるABC定理は初等的に証明でき,その応用としてフェルマーの最終定理の多項式類似まで証明できる.本書の前半でこれらの解説を与えた.一冊を通して,この例に典型的に見られるような整数と多項式の興味深い類似を大きく取り上げ,初等整数論を題材に,数論幾何の入り口まで道案内する.

【キーワード】

整数,多項式,合同式,代数系の基礎,有限体上の方程式,平方剰余の相互法則,虚二次体,多項式環における平方剰余,超楕円曲線

  目次

7

結晶群

河野 俊丈 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11180-6
判型A5
ページ数208ページ
発売日2015年06月26日
本体価格2,500円
【内容紹介】

私たちのまわりには,さまざまな対称性をもったかたちやパターンがあふれている.本書では,図形の対称性や周期性を記述するために,平面の合同変換からな る群について解説する.群の概念は,数学や物理のいろいろな分野で重要な役割を果たす.2つの方向の周期性をもつように,平面を埋め尽くす連続模様のパ ターンは17通りあることが知られていて,これは平面結晶群によって記述される.本書ではオービフォールドとよばれる幾何学的な方法で,結晶群を系統的にあつかう.

【キーワード】

対称性,群,合同変換群,不連続群,平面結晶群,ユークリッド幾何構造,オービフォールド,オイラー数,測地線,空間結晶群,ブラベ格子

  目次

8

曲線・曲面の微分幾何

田崎 博之 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11181-3
判型A5
ページ数184ページ
発売日2015年07月10日
本体価格2,500円
【内容紹介】

大学1年生が学ぶ程度の線形代数と微分積分の知識を使って曲線と曲面の微分幾何を解説する.曲線については平面曲線と空間曲線の曲がり方や,曲線から派生する図形の長さ,面積や体積の性質を述べる.曲面については空間内の曲面の曲がり方や,曲面から派生する図形の面積や体積の性質を述べる.曲面の章では曲面のオイラー数と曲率の積分を結びつけるガウス・ボンネの定理を目標にした.最後の章では地図投影法の初歩を曲面論の応用として扱った.

【キーワード】

曲線,曲率,長さ,面積,曲面,ガウス曲率,平均曲率,第一基本形式,第二基本形式,曲面積,オイラー数,ガウス・ボンネの定理,地図投影法

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9

連続群と対称空間

河添 健 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11182-0
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

数学の美しさの一つは分類である.例えば正多面体は5つしかないが,リーマン対称空間も有限個の型に分類でき,この分類はE. カルタンが1920年代に完成させた.この流れを紹介することが本書の主題である.基本は行列からなる群,すなわち古典群であり,本書で使われる計算はこの行列計算のみである.しかし分類を理解するには群と位相の基礎的な概念や,多様体,リー群とその等質空間などの数学を理解する必要もある.多くの例題を載せたので,それらを理解するだけでも楽しい学びとなるだろう.

【キーワード】

位相群,線形リー群,岩沢分解,カルタン分解,作用,軌道分解,多様体,等質空間,リーマン対称空間,対称対,対称リー環

  目次

10

結び目の理論

河内 明夫 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11183-7
判型A5
ページ数240ページ
発売日2015年08月09日
本体価格2,500円
【内容紹介】

結び目は今日,数学のみならず物理,化学,生物と関連する科学の基礎学問になっている.本書では,結び目の種々の数学的な理論の中から,常識化しておくのが望ましい基本的な事項を中心に,効率よく学べるような工夫を加えながら解説した.ごく初歩的な図式からはじめ,結び目の不変量を習得し,最終的には結び目の分類と4次元的視点の理解をめざす.本書を通して,専門家に限らず他分野の研究者や学生および高校生なども,結び目の数学とはどのような学問であるかを十分に理解することができよう.

【キーワード】

結び目の表示,標準的な例,多項式不変量,アレクサンダー不変量,巡回被覆空間,4次元的視点,結び目の分類,基本群,ホモロジー

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11

曲面のトポロジー

橋本 義武 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11184-4
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

トポロジーは,図形の性質のうち「図形をちょっとずつ動かしても変わらないようなもの」に着目し,「大胆な同一視」と「繊細な区別」を経由して簡潔かつ端的に図形の本質を捉えようとするものである.この本では,曲線や曲面のような目に見え絵に描ける身近な図形を題材に,トポロジーの基本的な問題意識,その問題意識に導かれて思考するための道具となる基礎概念,それらを用いて定式化され証明される基本的な諸定理とその応用について,解説する.

【キーワード】

回転数,近傍,写像・集合族・同値関係,群,同相,ホモトピー,基本群,被覆空間,単体複体,ホモロジー,多様体,コボルディスム

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12

ベクトル解析

加須榮 篤 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11185-1
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

本書は,ベクトル解析の基礎を初歩から始めつつ述べたものである.ベクトル場の導入から始め,発散,回転などの微分演算を説明した後,ガウスの発散定理,グリーンの定理,ストークスの定理をわかりやすく解説する.ベクトル解析は,数学のひとつの分野としても重要であるが,微分積分法の基本として,物理学や工学の理解においても欠かせない知識や計算手法を提供する.本書では,電磁気学で扱われる例題や演習問題も含めながら理解を深めるよう意図する.

【キーワード】

ベクトル,ベクトル場,発散,回転,ベクトル場の積分,ガウスの発散定理,グリーンの定理,ストークスの定理,電場,磁場,マクスウェル方程式

  目次

13

複素関数入門

相川 弘明 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11186-8
判型A5
ページ数264ページ
発売日2016年04月26日
本体価格2,500円
【内容紹介】

複素関数の入門書である.正則関数,コーシー・リーマンの関係式,ベキ級数,収束半径,コーシーの積分定理,コーシーの積分公式,ローラン展開,孤立特異点,留数,偏角の原理,等角写像,一次分数変換などの複素関数入門に必須の内容に加え,進んだ話題としてリーマンの写像定理の証明とゼータ関数の簡単な性質を紹介する.学部1年の微分積分学を予備知識として仮定するが,押さえておくべき重要な点は証明をつけ,できる限り自己完結するように努める.

【キーワード】

正則関数,ベキ級数,コーシーの積分定理,コーシーの積分公式,ローラン展開,留数,等角写像,一次分数変換,リーマンの写像定理,ゼータ関数

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15

常微分方程式の解法

荒井 迅 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11188-2
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

本書は,常微分方程式を解く必要に迫られたときに,いったい何をどうしたらいいのか,その手続きを解説する.微分方程式とは何なのか,それを「解く」という事はどんな意味があるのかを考えることから始め,線形常微分方程式の解き方や,様々な初等解法について学ぶ.直感的・幾何学的な理解を重視し,ベクトル場を用いた力学系的な解説を行なう.また,実際に目にする方程式は手では解けないものも多いため,数式処理や数値計算のソフトウェアを利用する方法も解説する.

【キーワード】

常微分方程式,線形常微分方程式,初等解法,ベクトル場,力学系,数式処理,数値解析

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16

偏微分方程式の解法

石村 直之 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11189-9
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

偏微分方程式は,自然科学や社会科学において実際の様々な現象を解析しようとするとき,大変に有効な手法である.本書では,可能な限り初等的な範囲で,偏微分方程式の解法を解説する.微分積分や線形代数などの大学初級課程の知識で理解可能なように,また,解法を通して実際の現象との関わりが自然に分かるように,入念に配慮されていることが特徴である.さらには,最近の非線形な偏微分方程式についても触れる.

【キーワード】

膜の形状,ラプラス方程式,波の伝播,波動方程式,熱の伝導,拡散方程式,ブラック・ショールズ方程式,非線形偏微分方程式

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  目次

17

数値解析

齊藤 宣一 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11190-5
判型A5
ページ数
発売日201703--
本体価格
【内容紹介】

本書では,微分積分学や線形代数学に登場する様々な問題の解を,近似的に求めるための数値的な方法とその理論を解説する.原始関数のわからない定積分の値をどうやって計算すれば良いか,未知数の数が数百個の連立一次方程式をどう解けば良いか,複雑な微分方程式の解の形をどうやって描くかなどを考えると,近似を厳密に扱うという,新しい問題意識を持つ必要が出てくる.本書では理論と具体例で,数値計算の数理をわかりやすく説明したい.

【キーワード】

ニュートン法,ガウスの消去法,LU分解,共役勾配法,台形則,シンプソン則,ルンゲ・クッタ法,浮動小数点数,安定性,収束性

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18

データの科学 ―問題解決のための統計の力―

山口 和範 著/渡辺 美智子 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11191-2
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

情報技術の発展とともにデータの取得,蓄積,流通が容易になるとともに,そのデータの活用力が求められている.統計学は,データが持つ潜在的な情報を顕在化させる力を持ち,統計的な考え方を身につけることがいま求められている.書籍では,身近な身の回りの事例を用いながら統計学の持つ力や統計学を活用した問題解決力を紹介する.この書籍により,読者の統計学への関心を高めるとともに,統計的思考力や分析スキルの向上が図られることを目指す.

【キーワード】

確率論,条件付確率,期待値,統計的推測,標本誤差,推定,検定,ビッグデータ,多変量解析,機械学習,問題発見,問題解決

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