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共立講座 数学の魅力 (学部3年次以降対象)

編集委員:新井仁之・小林俊行・斎藤毅・吉田朋広

刊行にあたって

大学の数学科で学ぶ本格的な数学はどのようなものなのでしょうか?

数学科の学部3年生から4年生,修士1年で学ぶ水準の数学を独習できる本を揃えました。代数、幾何、解析、確率・統計といった数学科での講義の各定番科目について、必修の内容をしっかりと学んでください。

ここで身につけたものは、ほんものの数学の力としてあなたを支えてくれることでしょう。さらに大学院レベルの数学をめざしたいという人にも、その先へと進む確かな準備ができるはずです。

お知らせ

「数学の輝き」の内容紹介とキーワードを公開しました
探検・魅力の内容紹介とキーワードを公開しました
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別巻

「激動の20世紀数学」を語る

猪狩 惺 著/小野 孝 著/河合 隆裕 著/高橋 礼司 著/服部 晶夫 著/藤田 宏 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11170-7
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

本書は,著者の皆様方に「先生が研究してこられた中で一番の事件だ!と思われた事は何ですか?」と質問を投げかけ,それにお答えいただく形で,一番インパクトの大きかった出来事に的を絞って,その数学的な解説とそれにまつわる思い出を語っていただきました.20世紀数学の激動の中での著者の活躍が実感できて,力が湧いてくる一冊です.

【キーワード】

服部晶夫「トポロジーの歩み:1960年代を中心として」,猪狩惺「フーリエ級数は収束するか」,河合隆裕「佐藤・小松セミナー」,小野孝「黄金数の探求」ほか

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1

代数の基礎

清水 勇二 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11156-1
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

現代の代数学は数や方程式の探求から発して,対称性や機能を記述する言葉として展開している.本書はその基礎の部分を現代的な視点で概説する.まず,群と環・体の基本となる概念と例,基本性質を説明する.次に環のイデアル,環上の加群の基本と,その応用としての単因子論を扱う.また,それらの応用である有限群の線形表現と指標の基本性質を説明する.最後に,現代数学の典型である体のガロワ理論を展開し,代数方程式論へ応用する.より進んだ理論への足掛かりとなれば幸いである.

【キーワード】

群,環,体,準同型,群の作用,加群,単因子論,有限群の表現と指標,体とガロワ理論

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2

多様体入門

森田 茂之 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11157-8
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

本書は,現代幾何学の基本である「多様体」への入門の書である,数学を学ぶ際には必須のものであるが,抽象性と具体例とのへだたりのために,必ずしも理解しやすいものではない.そこで,なぜ抽象的な定義が必要なのか,種々の曲面や単位円の弦全体のなす空間等の例を取り上げて,動機付けの理解をはかる.また,接ベクトルと接空間,向き付け可能性,境界,微分形式の積分,等の基本的な事項についても,2・3次元の例による目に見える記述と多くの例題によって読みやすくする予定である.

【キーワード】

微分可能多様体,曲面,リー群,接バンドル,写像とその微分,ベクトル場,積分多様体,余接バンドル,微分形式とその積分,ストークスの定理,ドラムの定理

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3

現代解析学の基礎

杉本 充 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11158-2
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

20世紀初頭に提唱されたルベーグ積分は,それまでのリーマン積分に対して様々な優位性を持っていたため,それ以降の解析学を根底から支えるという役割を担い続けてきた.本書では,「面積とはどのように定義されるべきか?」という素朴な問いかけに答えながら,このルベーグ積分が構築されていく美しいストーリーを解説する.また,フーリエ解析や超関数といった現代解析学の基本的道具において,リーマン積分がダイナミックに関わる様も紹介したい.

【キーワード】

測度空間,ルベーグ積分,ルベーグの収束定理,フビニの定理,フーリエ級数,フーリエ変換,ソボレフ空間,シュワルツ超関数

  目次

4

確率論

高信 敏 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11159-2
判型A5
ページ数320ページ
発売日2015年05月24日
本体価格3,200円
【内容紹介】

4つの章からなる.1章では,確率論の基礎概念(確率空間,確率変数,独立性,期待値,確率変数列の収束)について見る.2章では,d次元ユークリッド空間上の確率測度に収束概念「漠収束(=弱収束)」を導入し,それが対応する特性関数列の収束と同等であることを見る.3章,および4章では,それぞれ大数の強法則,中心極限定理の極限定理について考える.この極限定理は,独立な確率変数列に対しては言うまでもなく,必ずしも独立とは限らない確率変数列についても成り立っていることを見る.

【キーワード】

確率空間,確率変数,独立性,期待値,概収束,確率収束,Lp収束,法則収束, d次元ユークリッド空間上の確率測度,漠収束,弱収束,特性関数,畳み込み,大数の強法則,中心極限定理

  目次

5

層とホモロジー代数

志甫 淳 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11160-8
判型A5
ページ数394ページ
発売日2016年01月25日
本体価格4,000円
【内容紹介】

ホモロジー代数や層の理論は現代数学の記述に欠かせない基本言語である.現在でも拡大を続けている理論であるが,本書では,ほとんど予備知識を仮定せずに環と加群の定義から始めて,加群のホモロジー代数的理論,圏の一般論,抽象的なホモロジー代数の理論,層の理論について,古典的かつ基本的な事項にしぼってそれらをできる限り明快かつ簡潔に説明し,数学のどの分野に進むとしてもある程度役に立つ本となるよう努めた.数学の専門的勉強の基礎となる本である.

【キーワード】

帰納極限,射影極限,射影的加群,単射的加群,圏,関手,アーベル圏,埋め込み定理,導来関手,スペクトル系列,層,層化,層係数コホモロジー

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6

リーマン幾何入門

塚田 和美 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11161-5
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

私たちは周りの自然や生活そして数理諸科学の中で,曲面やアインシュタインの相対論における時空など曲がった空間に出会う.曲がった空間を,(擬)リーマン多様体として定式化し,ユークリッド幾何学の構成要素をこの多様体上に設定する.例えば,直線に相当するのは測地線である.そして曲がり具合を測る「曲率」を導入する.これらの概念を用いて曲がった空間を調べる幾何学―リーマン幾何学―を展開しよう.本書では,具体例を多く取り上げながらリーマン幾何学の基礎理論を解説する.

【キーワード】

(擬)リーマン多様体,ベクトル束の接続と曲率,測地線,リッチ曲率,定曲率空間,リーマン部分多様体,アインシュタインの相対論,時空

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7

位相幾何

逆井 卓也 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11162-2
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

オイラーやガウスに始まり,ポアンカレによって19世紀末に確立された位相幾何は,連続的な構造に着目して図形(位相空間)を理解することを目的とし,その影響は現代数学の様々な分野へと及んでいる.本巻では位相幾何における中心的な研究手法である,基本群や被覆空間,ホモトピー群や(コ)ホモロジー群の入門的事項について,直感的な図形的理解と厳密な代数的構造との結びつきを念頭に置きながら,具体例や応用例とともに説明していく.

【キーワード】

基本群,被覆空間,ホモトピー群,ホモロジー,コホモロジー,写像度,胞体複体,多様体,位相同型,ホモトピー同値

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8

リー群とさまざまな幾何

宮岡 礼子 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11163-9
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

多様体の母体とも言えるリー群,リー環論を導入した上で,様々な分野の数学と関わるリー群を紹介していく.前半では初等的な行列群を例にあげ,リー群を導入し,一般論へと進み,後半では様々なトピックに触れてゆく.モデル空間としての役割が大きい等質空間や対称空間にも触れるが深入りはしない.むしろシンプレクティック幾何,可積分系理論,特殊幾何などにおけるリー群,リー環の役割に話を進める.

【キーワード】

リー群,リー環,多様体,等質空間,対称空間,ルート系,分類理論,イソトロピー表現,余随伴軌道,シンプレクティック幾何,可積分系,ホロノミー群,特殊幾何

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9

関数解析とその応用

新井 仁之 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11164-6
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

関数からなる空間,さらにそれを抽象化した空間に関する解析学が関数解析である.20世紀前半に現れた関数解析は,それ自身が発展する一方,これまでにさまざまな応用が得られている.本書では,線形位相空間,バナッハ空間,ヒルベルト空間,線形作用素などの関数解析の基礎事項からはじめ,さまざまな応用例を交えて解説する.応用を重視した関数解析の入門書である.

【キーワード】

線形位相空間,バナッハ空間,ヒルベルト空間,関数空間,共役空間,線形作用素.基礎解析学,応用数学

  目次

11

現代数理統計学の基礎

久保川 達也 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11166-0
判型A5
ページ数324ページ
発売日2017年04月11日
本体価格3,200円
【内容紹介】

確率モデルを用いてデータの背後にある真実を探ることを統計的推測といい,その数学的な基礎を与えるのが数理統計学である.本書の前半では,確率や確率分布などの基本的な内容を扱う.その上に立って後半では,線形回帰モデル,ロジスティック回帰,確率過程の入門,統計的決定論,計算統計学など発展的な内容を解説する.特に,マルコフ連鎖モンテカルロ法,ブートストラップ法など,近年広く利用されている現代的な内容をわかりやすく解説する.

【キーワード】

確率,確率分布,多変量確率分布,統計的推測,推定,仮説検定,信頼区間,線形回帰モデル,リスク最適性,確率過程,計算統計学

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12

線形代数による多変量解析

栁原 宏和 著/山村 麻理子 著/藤越 康祝 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11167-7
判型
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

多変量解析において,線形代数の手法は非常に重要な道具となる.この本では,多変量解析における主な問題である,2次形式の最大化問題や行列残差の最小化問題などを線形代数により解くことで,多変量解析法を理解することを目的とする.そのため,未知母数の区間推定や統計的仮説検定問題よりも,未知母数の点推定や最適化問題に重点をおいている.また,多変量解析法のイメージをつかむため,各節に統計ソフトRを使った解析例を掲載する.

【キーワード】

主成分分析,因子分析,重回帰分析,相関分析,多変量回帰分析,正準相関分析,次元縮小,対応分析,多次元尺度法

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13

数理論理学と計算可能性理論

田中 一之 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11168-4
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

本書は,計算可能性理論に重点をおいた数理論理学の入門書である.ゲーデルやチューリングらのエポックメーキングな発見に始まる計算可能性理論は,コンピュータの誕生を促し,その発展の数学的基礎を担ってきたが,同時に集合論のような抽象的世界にも多くの有益な知見を与えている.本書は,計算の複雑さから許容集合まで,これまで単独の教科書では扱われることがなかった幅広い話題を大胆に編み,大きな視野を読者に提供することで,数理論理学本来の醍醐味を賞翫しえるように構想した.

【キーワード】

決定問題から計算可能性理論へ,ブール代数と計算の複雑さ,1階論理と完全性定理,不完全性定理,算術的階層,2階論理,解析的階層,許容集合論

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14

中等教育の数学 ―教育数学の視点―

岡本 和夫 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11169-1
判型A5
ページ数
発売日
本体価格
【内容紹介】

教育数学とは本来大学初年次からどのような数学を教えるべきか,という問題提起から出発したものである.これを中等教育に敷衍して,「数学教育」を問い直し再構築する試みの一つとして本書は企画された.一方,中等教育では指導要領により系統化されているが,数学については長い実践と国際的にも通用する経験に基づいていることも事実である.従来「数学教育」では,何をよりも如何に,が問われることが多いが「何のための数学か」を問うことにより数学の形を改めて考えてみたい.

【キーワード】

数学教育,指導要領の変遷,数学の学習成果,言語としての数学,道具としての数学,対象としての数学,数学の形,中等教育での教育数学

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