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共立講座 数学の魅力 (学部4年次・大学院生対象)

編集委員:新井仁之・小林俊行・斎藤毅・吉田朋広

刊行にあたって

数学の最前線ではどのような研究が行われているのでしょうか?大学院にはいっても、すぐに最先端の研究をはじめられるわけではありません。この第3部では,第2部の「数学の魅力」で身につけた数学力で、それぞれの専門分野の基礎概念を学んでください。

一歩一歩読み進めていけばいつのまにか視界が開け、数学の世界の広がりと奥深さに目を奪われることでしょう。

現在活発に研究が進みまだ定番となる教科書がないような分野も多数とりあげ、初学者が無理なく理解できるように基本的な概念や方法を紹介し,最先端の研究へと導きます。

お知らせ

「数学の輝き」の内容紹介とキーワードを公開しました
探検・魅力の内容紹介とキーワードを公開しました
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保型形式と保型表現

池田 保 著/今野 拓也 著

書籍情報
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判型A5
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本体価格
【内容紹介】

本書は簡約可能代数群のアデール群上に定義された保型形式の入門書である.一般論に先立って,前半では総実代数体上のヒルベルト保型形式を論じる.ヒルベルト保型形式をアデール群上で考えることにより自然な形でヘッケ作用素などを論じることができることを見る.さらに後半では一般の簡約可能代数群上の保型形式を論じ,局所体上に定義された簡約可能代数群の表現論との関連についても論じる.

【キーワード】

ヒルベルト保型形式,アデール群上の保型形式,保型表現

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グロモフ‐ウィッテン不変量と量子コホモロジー

前野 俊昭 著

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判型A5
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本体価格
【内容紹介】

位相的場の理論の発展は幾何学における様々な新しい知見をもたらした.とりわけミラー対称性は数え上げ代数幾何学に大きなインパクトを与え,量子コホモロジーの理論の発展を促した.本書ではグロモフ・ウィッテン不変量や量子コホモロジー環の数学的基礎について解説し,ミラー対称性予想がどのように定式化されるのかを明らかにする.特に,5次超曲面上の有理曲線の数え上げに関するミラー対称性予想とその解決について,どのような理論が展開されるのかを概観する.

【キーワード】

安定写像,モジュライ空間,グロモフ・ウィッテン不変量,WDVV方程式,フロベニウス多様体,量子コホモロジー環,J関数,ミラー対称性

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可換環とスキーム

小林 正典 著

書籍情報
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判型A5
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【内容紹介】

スキーム(概型)の理論は代数幾何の標準言語となっている.根底にあるのは,空間と可換環(関数のなす代数系)との双対性である.これによって,整数環などどんな可換環からでも幾何構造を作り出し,実り多い議論を可能にしている.本書は,可換代数の初歩から始めて,素早くスキームの要点に到達できるテキストである.圏などの抽象的だが重要な用語もself-containedに解説する.近年の発展につながるように,双対性とモノイド構造を意識して導入する.

【キーワード】

代数幾何,可換代数,双対性,局所化,素イデアル,ネーター性,基底定理,零点定理,圏と関手,スキーム(概型),連接層

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有限単純群

北詰 正顕 著

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判型A5
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【内容紹介】

19世紀に5重可移群として得られたマシュー群は,20世紀になって組合せ構造(デザイン)の自己同型群として研究が進み,情報理論・符号理論における特別な実例であるゴーレイ符号との関連も明らかになった.さらに,ゴーレイ符号から構成されるリーチ格子は,その自己同型群(コンウェイ群)が散在型単純群の実例の宝庫となっている.本書では,マシュー群・コンウェイ群を中心に,その周辺の事項について基礎から解説したい.

【キーワード】

有限単純群,置換群,多重可移群,散在型単純群,符号,格子,デザイン,グラフ

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力学系

林 修平 著

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判型A5
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【内容紹介】

現在,力学系理論の基礎として位置づけられる双曲力学系を扱う双曲理論は,60年代以降の力学系理論の発展を支えてきた.その最も大きな成果の一つに構造安定な力学系の特徴付けがある.本書ではこの成果を少なくとも低次元の場合に出来るだけ厳密な形で提示することを試みる.主に多様体上の微分同相写像による力学系を扱うが,その過程の中でフローの場合や位相力学系及びエルゴード理論も織り交ぜ,全体として力学系理論の基礎を学べるような内容となっている.

【キーワード】

双曲型集合,構造安定性,Ω-安定性,安定・不安定多様体,エルゴード的測度,拡大性と擬軌道追跡性,スペクトル分解,閉補題,エルゴード閉補題

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代数群

庄司 俊明 著

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判型A5
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【内容紹介】

代数群は実数体や複素数体上のリー群の代数的類似物であって,群構造を持った代数多様体として定義される.特に有限体上定義された簡約代数群は,その有理点のなす有限群(有限簡約群)から有限単純群のすべての無限系列が得られる,という意味で重要である.1980年代以降,代数群の表現論は爆発的な発展を遂げた.本書では表現論については直接触れないが,有限簡約群の表現論への応用を目標として線形代数群の基礎理論を解説する.

【キーワード】

線形代数群,ジョルダン分解,リー代数,ラングの定理,ボレル部分群,旗多様体,簡約代数群,ブリュアー分解,有限シェヴァレー群

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多変数複素解析

辻 元 著

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判型A5
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【内容紹介】

多変数複素解析を小平消滅定理の拡張として微分幾何学からの視点で理解する.調和積文論の非コンパクト複素多様体への一般化として,ヘルマンダーのL2-評価の方法を,多重劣調和関数を直線束の特異エルミート計量としてとらえ,擬凸性を微分幾何学的に解釈する.多変数複素解析を複素代数幾何学における小平理論の無限次元版ととらえることにより,コンパクト複素多様体論の自然な拡張として理解することを目標にする.

【キーワード】

-方程式,多重劣調和関数,擬凸性,小平消滅定理,ケーラー等式,L2-評価式,ベルグマン核,L2-拡張定理

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D加群

竹内 潔 著

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【内容紹介】

D-加群とは解析学における線型偏微分方程式系の概念を代数化したものである.特性多様体がシステムにたいして定義され,線型偏微分方程式系の一般理論が建設された.これはグロタンディーク流の代数幾何の自然な非可換化あるいは無限次元版とみなすこともできる.なかでもホロノミー系の理論は,リーマン・ヒルベルト対応や偏屈層の理論を通じ現代数学の多くの分野に画期的な進展をもたらしている.本書では,これらの理論を平易に解説しその広がりを概観する.

【キーワード】

D-加群,特性多様体,導来圏,ホロノミー系,柏原の構成可能性定理,偏屈層,リーマン・ヒルベルト対応,シンプレクティック幾何学

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反応拡散系の数理

長山 雅晴 著/栄 伸一郎 著

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【内容紹介】

本書では反応拡散系のパターン形成に対する数理解析について解説する.ここでは2変数反応拡散系に限定して,拡散誘導不安定化によって出現する定常解に対する特異摂動法による解の構成とその安定性解析法について解説する.次に,進行波解や進行パルス波解の運動を解析するための縮約理論とその応用について解説し,この解析に必要となる解構造の数値計算法について説明する.

【キーワード】

拡散誘導不安定性,定常問題に対する特異摂動法,SLEP法,中心多様体縮約,パルスダイナミクス法,定常解の数値分岐計算と安定性計算

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カッツ・ムーディ代数とその表現

山田 裕史 著

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【内容紹介】

有限次元単純リー環およびカッツ・ムーディリー環のルート系や最高ウエイト表現は,数学・物理のどのような分野においても非常に重要である.学部レベルでは教えられることは稀であるにもかかわらず,大学院に入った途端に常識とされる.この間のギャップを埋めるために本書は書かれた.学部低学年の数学の知識のみを仮定する.精読することによりカッツ・ムーディリー環の常識まで誘う.初学者の渇きを癒すものでありたい.

【キーワード】

無限次元リー環,ルート系,ワイル群,標準双線型形式,普遍包絡環,最高ウエイト表現,指標公式,基本表現,シューア函数

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リー環の表現論とヘッケ環

加藤 周 著/榎本 直也 著

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【内容紹介】

代数群の表現への興味から導入された(岩堀‐)ヘッケ環と呼ばれる代数はルート系から生じる代数系の表現論の構造を記述し,量子群の表現論・結び目不変量などとも深く関連する.また,半単純リー環の無限次元表現論にはBGG圏と呼ばれる基礎的な表現圏がある.本書では,BGG圏に積構造が入りヘッケ環を与え,それがBGG圏の単純加群の指標を導くことをSoergel双加群と呼ばれる代数的な概念を通じて紹介する.

【キーワード】

(岩堀‐)ヘッケ環,Lie環,表現論,BGG圏,Soergel双加群,ルート系,Kazhdan-Lusztig多項式,量子群,モーメントグラフ

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リー群のユニタリ表現論

平井 武 著

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【内容紹介】

半単純リー群の表現論の基礎を学習した後,コンパクトリー群の例として,回転群SO(n), ユニタリ群U(n)をとり,その表現論を具体的に取り扱う.既約表現をGelfand-Zetlin基底(GZ基底)を用いて行列表示する.非コンパクトリー群の例として一般化ローレンツ群SO(n,1)と擬ユニタリ群SU(n,1)をとり,それらの(非ユニタリ)主系列表現の構造を,上のGZ基底を拡張した基底を作って詳細に調べることにより,既約ユニタリ表現,緩増大既約表現を完全に分類する.既約ユニタリ表現のGZ基底による実現の応用も述べる.

【キーワード】

半単純リー群の表現,Gelfand-Zetlin基底,回転群SO(n), ユニタリ群U(n), 一般化ローレンツ群SO(n,1), 擬ユニタリ群SU(n,1)の表現

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確率論と物理学

香取 眞理 著

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【内容紹介】

確率論において近年,物理学,特に統計力学に動機づけられた研究の発展が著しい.平面格子上の統計力学模型の臨界状態を記述する共形不変な確率過程,数え上げ組合せ論やランダム行列理論で導入される時間に依存した行列式点過程,交通流模型や界面成長模型と関連する可積分確率過程と非線形確率偏微分方程式などについて解説する.物理学あるいは確率論にこれまではあまり馴染みのなかった読者にも,これらのトピックスの数学的な豊かさを伝えたい.

【キーワード】

Schramm-Loewner発展,Cardy公式,Tracy-Widom分布,Kardar-Parisi-Zhang方程式,非平衡統計力学,伊藤確率解析,可解構造

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岩澤理論

尾崎 学 著

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【内容紹介】

岩澤理論は1950年代に岩澤健吉によって創始された独創性に溢れる数論の理論であり,21世紀を迎えた今日にあってもなお数論に多大な影響を与えながら発展し続けて,常に研究の最前線に位置している.本書は,代数体のzp-拡大の岩澤理論を基本事項から説き起こし,数論的対象物イデアル類群と解析的対象物ゼータ函数の間の世にも深遠な関係を与える岩澤主予想(Mazur-Wilesの定理)の証明を最終目標とする.

【キーワード】

代数的整数論,完備群環,ガロア理論,イデアル類群,円分体,p-進ゼータ函数,p-進L函数

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対称空間の幾何学

田中 真紀子 著/田丸 博士 著

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【内容紹介】

各点に点対称を備えた空間を対称空間と呼ぶ.対称空間は豊富な幾何をもつ.例えば,様々な幾何における典型的な空間は,対称空間となることが多い.本書は,対称空間の入門書である.学部4年生や修士1年生のセミナーでも使用できるように構成されている.リーマン幾何やリー群・リー環の知識を仮定せずに対称空間を導入し,リーマン対称空間のみならず擬リーマン対称空間やアフィン対称空間も含めて,対称空間の理論の概要を解説する.

【キーワード】

集合としての対称空間,多様体構造をもつ対称空間,リーマン対称空間,擬リーマン対称空間,アフィン対称空間,対称空間の部分多様体

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ノンパラメトリック統計

前園 宜彦 著

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【内容紹介】

ノンパラメトリックな統計的推測は順位検定の利用から始まり,母集団分布に依存しない手法として広く利用されている.その後経験分布関数を滑らかに修正して密度関数の推定を行うカーネル型推定法が提案され,さらに汎用性の非常に高いブートストラップ法がノンパラメトリック推測の柱として定着してきている.本書はこれらの手法の紹介とその性質を解説したもので,学生や統計の利用者にもノンパラメトリック法の概要が理解できるものになっている.

【キーワード】

順位検定,漸近相対効率,カーネル型推定,ノンパラメトリック回帰,統計的リサンプリング法,ジャックナイフ,ブートストラップ

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楕円曲線の数論

小林 真一 著

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【内容紹介】

楕円曲線の数論は,フェルマ予想から暗号理論まで幅広い応用を持つと同時に, 現代整数論の最も基本的なモデルとなっている.また様々な分野の交差点にもなっており,数学を広く深く学ぶための最高の教材でもある.本書の前半は,これから楕円曲線の数論を深く研究したいと考えている学生や研究者に対し,確かな基礎を提供することを目標とする.後半ではBSD予想など,より進んだ話題を解説する.

【キーワード】

楕円曲線,有限体,形式群,モーデル‐ヴェイユの定理,セルマー群,BSD予想,p-進コホモロジー

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非可換微分幾何学の基礎

前田 吉昭 著/佐古 彰史 著

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【内容紹介】

微分幾何学は微分学・積分学を用いて,空間の概念と空間内での運動を理解するために構築され,物理学における古典力学や相対性理論などとも深く結びつきながら発展をした.その後,物理学は量子論へ移り,さらに場の量子論へと進んでいる.この流れに従うと,幾何学にも量子論的な考えが導入されることが期待される.本書では,変形量子化の手法を用いて,空間の非可換化および非可換空間の性質について微分幾何学的な立場から考察し,量子幾何学の構築へ向けた指針を示したい.

【キーワード】

非可換微分幾何学,非可換多様体,変形量子化,シンプレクティック幾何学,ポアソン幾何学

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機械学習の数理

金森 敬文 著

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【内容紹介】

機械学習とは,統計学,人工知能,最適化などの境界領域として位置付けられる情報科学の一分野である.近年,解析すべきデータは大規模・高次元化の一途をたどっている.このため,データ解析を行う学習アルゴリズムについて,その統計的側面だけでなく計算効率も重要な要素となっている.本書では,機械学習において提案され,広く応用されている学習アルゴリズムを紹介し,その数理的な側面について詳しく解説する.

【キーワード】

サポートベクトルマシン,ブースティング,高次元統計解析,ノンパラメトリック統計,再生核ヒルベルト空間,情報幾何

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ディオファントス問題:無理数と有理数の世界

平田 典子 著

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判型A5
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【内容紹介】

整数論におけるフェルマーの定理のように整数係数の方程式の整数解を調べる問題や,その近代化を総称してディオファントス問題と言う.ディオファントス問題に関連する基本的な証明の手段であるディオファントス近似の丁寧な解説を通して,無理数や超越数に関する一連の結果を紹介する.不定方程式への応用などの関連する話題についても言及し,古典から現代に到るまでの整数論の奥深さを味わう場を提供する.

【キーワード】

ディオファントス問題,ディオファントス近似,無理数,超越数,部分空間定理,対数一次形式,不定方程式

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シンプレクティック幾何入門

髙倉 樹 著

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【内容紹介】

シンプレクティック幾何は古典力学の定式化に起源をもつが,20世紀後半に大きく発展し,現代の幾何学・位相幾何学の重要な分野となっている.本書ではシンプレクティック幾何への入門を目的として,その基礎的な事項を解説する.ダルブーの定理や適合的な概複素構造などの多様体論的な側面とともに,ハミルトン・ベクトル場やモーメント写像など,古典力学と関わる諸概念の理解を深める.また,幾何的量子化の理論や表現論との関わりも解説する.

【キーワード】

シンプレクティック多様体,ラグランジュ部分多様体,局所標準形,概複素構造,ケーラー多様体,ハミルトン力学,モーメント写像,幾何的量子化

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超離散系

時弘 哲治 著

書籍情報
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判型A5
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発売日
本体価格
【内容紹介】

超離散系とは,解析的な性質を内在したセルオートマトン(cellular automaton, CA)である.CAは,有限種類の状態のみをとる細胞(セル)が空間的に配列し,与えられた時間発展の規則に従って,一定の時間間隔ごとに状態を変化させる力学系であり,複雑な自然・社会現象の数理モデルとして広く用いられている.本書では,可積分CAと呼ばれる深い数理的構造を持つ超離散系を中心に,超離散化の手法,超離散系の持つ数学的構造,数理モデルへの応用などについて解説する.

【キーワード】

超離散系,セルオートマトン,半環,離散可積分系,箱玉系,逆超離散化,トロピカル曲線

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1

数理医学入門

鈴木 貴 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11195-0
判型A5
ページ数270ページ
発売日2015年05月24日
本体価格4,000円
【内容紹介】

最新の研究に基づいて数学と医学の直接の融合を紹介したユニークな教科書である.現代数学を用いた医療診断法や,細胞生物学研究において第3の手法として注目されている数理モデリング,さらには生物学研究に動機づけられた粒子運動の数学解析法を解説する.豊富な図や演習問題によって多角的に理解できるように工夫した. 個別に展開されてきた生物学研究を統合し,生命現象を予測する新たな数学を展開する.生物学から生まれた数学の息吹を味わってほしい.

【キーワード】

医療画像処理,生体磁気,細胞生物学,数理腫瘍学,数理モデリング,非線形偏微分方程式,熱力学,統計力学,反応拡散方程式

  目次

2

リーマン面と代数曲線

今野 一宏 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11196-7
判型A5
ページ数266ページ
発売日2015年06月11日
本体価格4,000円
【内容紹介】

閉リーマン面のもつ解析的,代数的,幾何的な性質とそれらの相互関係を,学部3年までに習う数学に素養をもった読者を想定して,平易に解説する.非定数有理型関数の存在を示し,それを起点としてリーマン・ロッホの定理,アーベルの定理,ヤコビの逆問題を論じ,自己同型群に関するフルヴィッツの定理や周期写像の単射性を主張するトレリの定理に至る.また,1変数代数関数体,閉リーマン面,非特異射影曲線の「三位一体」も隠れた主題である.

【キーワード】

リーマン面,代数曲線,リーマン・ロッホの定理,アーベルの定理,ヤコビの逆問題,トレリの定理

  目次

3

スペクトル幾何

浦川 肇 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11197-4
判型A5
ページ数350ページ
発売日2015年06月25日
本体価格4,300円
【内容紹介】

スペクトル幾何学はラプラシアンのスペクトル「音情報」から発信源の形状を推測・決定する数学である.ラプラシアンの固有値の様々な評価,リヒネロヴィッツ・小畠の定理,閉測地線の長さの集合を決定するコラン=ド=ヴェルディエの仕事を述べる.音源が負曲率なら発信源は完全決定というギルミン・カズダンの仕事を紹介し,ディリクレ固有値問題のペイン・ポリヤ・ワインバーガー型不等式の成慶明らの最新成果と「発信源逆探知問題」への興味ある応用等も述べる.

【キーワード】

ラプラシアン,スペクトル,固有値,熱方程式,閉測地線,モース理論,鞍部点法,負曲率多様体,アノソフ力学系,スペクトル剛性

  目次

4

結び目の不変量

大槻 知忠 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11198-1
判型A5
ページ数288ページ
発売日2015年06月26日
本体価格4,000円
【内容紹介】

ひもを結ぶと,結び目ができる.結び目の不変量を用いると,結び目のタイプを区別することができる.1980年代に数理物理的手法がトポロジーに導入されて,3次元トポロジーにおいては,結び目の不変量が大量に発見された.それらの不変量の研究は数理物理や量子群やKZ方程式などの周辺分野と関連して大きな広がりをもっており,その研究分野は量子トポロジーとよばれている.本書は,量子トポロジーにおける結び目の不変量やそれに関連するトピックについて,初歩から最先端の内容まで解説している.

【キーワード】

結び目,不変量,トポロジー,組みひも,量子群,KZ方程式,ジョーンズ多項式,ホバノフホモロジー,コンセビッチ不変量,ループ展開,カンドル,双曲幾何,体積予想

  目次

5

K3曲面

金銅 誠之 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11199-8
判型A5
ページ数240ページ
発売日2015年08月09日
本体価格4,000円
【内容紹介】

1970年代にK3曲面のトレリ型定理が証明され,その後K3曲面の研究が大きく進展した.K3曲面は楕円曲線の2次元版と考えることができるが,代数幾何学のみならずミラー対称性やマシュー・ムーンシャイン等を通じて理論物理学においても関心が持たれている.本書の主題はK3曲面のトレリ型定理である.証明に必要となる格子理論や鏡映群の基本領域についても紹介する.またエンリケス曲面の周期や平面4次曲線のモジュライへの応用も述べる.

【キーワード】

K3曲面,格子,トレリ型定理,周期,クンマー曲面,鏡映群,基本領域,ケーラー錐,自己同型群,エンリケス曲面,平面4次曲線

  目次

6

素数とゼータ関数

小山 信也 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11200-1
判型A5
ページ数300ページ
発売日2015年10月25日
本体価格4,000円
【内容紹介】

「素数はどれだけたくさんあるか」―これは紀元前から人類が取り組んできた謎である.近代数学が到達した「素数定理」,そして残された未解決問題「リーマン予想」―本書は,古来数学の中心的テーマとされてきた素数に関する解説書である.ユークリッドやオイラーの素朴な研究の概観から始め,ゼータ関数の基本事項の解説と素数定理・算術級数定理の証明を経て,最終章では最先端の研究「深いリーマン予想」の紹介に至る.

【キーワード】

整数論,ゼータ関数,素数,解析数論,解析的整数論,明示公式,リーマン・ゼータ関数,素数定理,算術級数定理,ディリクレL関数,深リーマン予想,リーマン予想

  目次

7

確率微分方程式

谷口 説男 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11201-8
判型A5
ページ数236ページ
発売日2016年09月26日
本体価格4,000円
【内容紹介】

ランダムな揺らぎを持つニュートン方程式である確率微分方程式は1942年に伊藤清により創始され,現在では確率論研究において基本的な道具となっている.本書では,確率論の復習から始め,確率微分方程式の基礎となる確率積分を導入し,その後,伊藤の公式と呼ばれる連鎖定理を紹介する.そして確率微分方程式の常微分方程式的な性質と偏微分方程式論への応用を詳説し,さらに経路空間での無限次元解析と数理ファイナンスへの応用についても解説する.

【キーワード】

ブラウン運動,確率積分,伊藤の公式,表現定理,モーメント不等式,微分同相写像,熱方程式,経路空間,ブラック‐ショールズ・モデル

  目次

8

粘性解 ―比較原理を中心に―

小池 茂昭 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11202-5
判型A5
ページ数216ページ
発売日2016年12月28日
本体価格4,000円
【内容紹介】

粘性解は,非発散型二階(退化)楕円型方程式に対して導入された弱解の概念である.一意性を導く比較原理や存在・安定性の基礎理論が整備される一方,粘性解理論は,微分幾何学に現れる方程式や,数理ファイナンスを含む最適制御・確率微分ゲーム等に応用されてきた.本書では,基礎理論の中心的テーマの比較原理に焦点を絞った.また,初学者が他のテキストを参照せずに理解できるように,いくつかの重要な補題の証明も載せた.

【キーワード】

粘性解,比較原理,非発散型方程式,最大値原理,退化楕円型方程式

  目次

9

3次元リッチフローと幾何学的トポロジー

戸田 正人 著

書籍情報
ISBN978-4-320-11203-2
判型A5
ページ数328ページ
発売日2017年03月27日
本体価格4,500円
【内容紹介】

ペレルマンがサーストンの幾何化予想を解決してからすでに10年が経ち,その手法はすでに幾何学の基礎になりつつある.本書ではその手法を最小限の知識を前提として解説することを試みた.前半は3次元多様体の標準分解と幾何構造について述べ,幾何化予想を理解することを目標とする.後半はリッチフローの基礎,とくに最大値原理を用いた解析的評価から始めて,空間収束を駆使したリッチフローの特異性解析を詳説し,最後に幾何化予想の解決のアウトラインを紹介する.

【キーワード】

3次元多様体,ポアンカレ予想,双曲幾何学,幾何化予想,リッチフロー,最大値原理,放物型方程式,アレクサンドロフ空間

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