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徹底攻略常微分方程式

書籍情報
ISBN978-4-320-01934-8
判型B5 
ページ数248ページ
発行年月2010年08月
本体価格2,400円
徹底攻略常微分方程式 書影
徹底攻略常微分方程式

 本書は,「どのように応用されていくのか」という視点に常に配慮しつつ常微分方程式を解説した教科書である。「微分方程式を解く」という作業は,「モデル化する・微分方程式を立てる」というプロセスと,「微分方程式を解く(式全体を積分して,解となる関数を求める)」というプロセスの2つからなるが,身近な現象に対して微積を用いてアプローチする面白さを読者に伝えたいという思いのもと,本書では「方程式の解き方」だけではなく,「モデル化」や「具体的な応用例」を出来る限り取り上げた。また,「いま説明したことが,どこでどう使われるのか」という点にこだわって,たくさんのコメントを入れてある。

目次

第0章 準備
0.1 微分法の復習
  0.1.1 微分係数・導関数
  0.1.2 基本関数の導関数
  0.1.3 微分の計算方法
  0.1.4 高階導関数
  0.1.5 ベキ級数展開
  0.1.6 Eulerの公式
  0.1.7 偏微分
0.2 積分法の復習
  0.2.1 原始関数
  0.2.2 定積分と不定積分
  0.2.3 基本関数の不定積分
  0.2.4 有理式の積分
  0.2.5 置換積分法
  0.2.6 部分積分法
  0.2.7 三角関数の積の積分
  0.2.8 面積・体積・曲線の長さ
0.3 線形数学の復習
  0.3.1 ベクトル
  0.3.2 行列
0.4 物理現象の基本的な扱い
  0.4.1 速度・加速度
  0.4.2 Newtonの運動方程式
  0.4.3 運動方程式の時間積分と運動量保存則
  0.4.4 運動方程式の空間積分と力学的エネルギー保存則
  0.4.5 電気回路と素子

第1章 微分方程式概説
1.1 微分方程式の定義
1.2 代表的な微分方程式
1.3 微分方程式の種類
  1.3.1 常微分方程式と偏微分方程式
  1.3.2 線形微分方程式と非線形微分方程式
  1.3.3 同次微分方程式と非同次微分方程式
1.4 初期値問題と境界値問題
  1.4.1 初期値問題
  1.4.2 境界値問題
1.5 解軌道と勾配場
1.6 連立微分方程式
1.7 モデル化・微分方程式を作る方法
1.8 微分方程式の解の存在と一意性

第2章 1階微分方程式
2.1 変数分離法
  2.1.1 変数分離法
  2.1.2 変数分離型へ変換できるもの
2.2 積分因子法
  2.2.1 定数係数微分方程式の場合
  2.2.2 係数が関数の微分方程式の場合
2.3 非同次微分方程式の一般解
  2.3.1 未定係数法
  2.3.2 定数変化法
2.4 Bernoulli型,Riccati型,Clairaut型
2.5 完全微分形
2.6 発展的応用
  2.6.1 年代測定と贋作鑑定
  2.6.2 ロケットの燃料はどれだけ必要か
  2.6.3 水時計の設計
  2.6.4 研究課題1:空気抵抗
  2.6.5 研究課題2:広告の威力
  2.6.6 研究課題3:伝染病の流行モデル

第3章 2階および高階線形微分方程式
3.1 2階の定数係数同次線形微分方程式
  3.1.1 概略
  3.1.2 解の重ね合わせ
  3.1.3 解の存在と一意性
  3.1.4 関数の1次独立・1次従属
  3.1.5 特性方程式
  3.1.6 初期値問題
3.2 2階の定数係数非同次線形微分方程式
  3.2.1 解の構造
  3.2.2 未定係数法
  3.2.3 定数変化法
3.3 2階の変数係数非同次線形微分方程式
  3.3.1 一般的な議論
  3.3.2 変数係数の同次微分方程式
  3.3.3 変数係数の非同次微分方程式
  3.3.4 Eulerの微分方程式
3.4 高階の定数係数同次線形微分方程式
3.5 境界値問題
3.6 発展的応用
  3.6.1 重力による単振動
  3.6.2 重力と浮力による単振動
  3.6.3 RLC並列回路
  3.6.4 懸垂線
  3.6.5 最速降下線(変分法の紹介)
  3.6.6 研究課題:地球を貫くトンネル

第4章 連立微分方程式と解の定性的分類
4.1 連立微分方程式の例
4.2 線形連立微分方程式
4.3 微分方程式の大域理論
  4.3.1 臨界点
  4.3.2 安定性
  4.3.3 固有値が2つの異なる実数の場合
  4.3.4 固有値が共役な複素数の場合
  4.3.5 固有値が縮退する場合
  4.3.6 まとめ
4.4 定数係数連立微分方程式の一般的な取り扱い
  4.4.1 解核行列
  4.4.2 対角化可能な行列の場合
  4.4.3 一般スペクトル分解を用いた表現
4.5 非同次連立微分方程式
  4.5.1 一般解導出の方針
  4.5.2 システム制御と安定性解析
4.6 発展的応用
  4.6.1 軍備競争モデル
  4.6.2 連成振動
  4.6.3 相互誘導回路
  4.6.4 捕食者/被食者モデル

第5章 Laplace変換による解法
5.1 Laplace変換
5.2 Laplace逆変換
5.3 微分方程式への応用

第6章 級数解
6.1 級数解による求積
6.2 特異点
6.3 確定特異点のまわりの級数解
6.4 Legendreの微分方程式
6.5 Besselの微分方程式
6.6 自己随伴形の微分方程式

第7章 数値的手法
7.1 プログラムを組む方法
  7.1.1 数値計算の注意点
  7.1.2 数値計算による微分
  7.1.3 数値計算による積分
  7.1.4 数値計算による微分方程式の解法
  7.1.5 Runge-Kutta法
  7.1.6 刻み幅Δx はどう決めるか
  7.1.7 他の数値解法
  7.1.8 2階の微分方程式の数値解法
7.2 Mathematica を使う方法
  7.2.1 基本的な数式処理
  7.2.2 代数計算
  7.2.3 関数の定義,微分・積分
  7.2.4 基本的な描画・プロット
  7.2.5 微分方程式を解く
  7.2.6 ベクトル場を描く
  7.2.7 行列計算
  7.2.8 練習問題
  7.2.9 単振り子の近似限界
  7.2.10 3種類の生物のLotka-Volterraモデル

参考文献

問題・章末問題の答

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