素数と2次体の整数論

書籍情報
シリーズ名数学のかんどころ 【15】巻
ISBN978-4-320-01995-9
判型A5 
ページ数256ページ
発行年月2012年12月
本体価格1,900円
素数と2次体の整数論 書影
素数と2次体の整数論

本シリーズは,数学の急所と思われる部分,理解に困難を感じると思われる部分,また数学全体の理解に役立つと思われる部分を要点ごとにコンパクトにまとめたシリーズである。第15巻の本書の目的は,通常の整数をより深く理解するために,「2次体の整数」と呼ばれる通常の整数の世界よりも少しだけ広い数の世界を探求していくことである。読者は2次体の整数論を通してイデアルを理解することで,代数学をより深く学ぶことができるだろう。

目次

第1章 算術の基本定理
1.1 準備
1.2 約数と倍数
1.3 Zのイデアル
1.4 素因数分解の一意性
1.5 p進付値
1.6 ユークリッドの互除法
1.7 ピタゴラス数

第2章 整数の合同
2.1 合同式
2.2 フェルマーの小定理
2.3 オイラーの定理
2.4 原始根
2.5 整数の剰余類
2.6 既約剰余類群

第3章 平方剰余の相互法則
3.1 ルジャンドル記号
3.2 ヤコビ記号
3.3 ガウス和
3.4 平方剰余の相互法則の証明

第4章 2次体の整数環
4.1 2次体
4.2 2次体の整数環
4.3 2次体の整数環における整除
4.4 2次体の整数環における合同
4.5 2次体の単数群
4.6 フィボナッチ数列の周期性

第5章 2次体における素因数分解
5.1 2次体の素数
5.2 イデアル
5.3 ユークリッド整域とPID
5.4 PIDとUFD
5.5 UFDにおける有理素数の素因数分解
5.6 ヤコブスタール和
5.7 x3+y3=z3とx4+y4=z4の整数解

第6章 2次体における素イデアル分解
6.1 イデアルの演算
6.2 イデアルのノルム
6.3 イデアルによる剰余環
6.4 素イデアル分解
6.5 有理素数の素イデアル分解

第7章 イデアル類群とその応用
7.1 イデアル類群
7.2 オイラーの多項式x2+x+41
7.3 y2=x3-aの整数解
7.4 a2+nb2の形の素数

第8章 付録
8.1 群論の簡単な復習
8.2 環論の基本事項