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環論,これはおもしろい―素因数分解と循環小数への応用― 

書籍情報
シリーズ名数学のかんどころ 【17】巻
ISBN978-4-320-01997-3
判型A5 
ページ数190ページ
発行年月2013年01月
本体価格1,500円
環論,これはおもしろい 書影
環論,これはおもしろい

本シリーズは,数学の急所と思われる部分,理解に困難を感じると思われる部分,また数学全体の理解に役立つと思われる部分を要点ごとにコンパクトにまとめたシリーズである。第17巻の本書は,環論の入門書である。様々な環の性質について,基本から応用まで解説する。とくに,応用例として分数の少数展開の問題を取り上げているのが大きな特色である。

目次

第1章 整数環
1.1 素因数分解
1.2 集合Jとイデアル
1.3 因数a, b, cの補題
1.4 素因数分解の一意性
1.5 素因数分解の応用
1.6 ピタゴラス数
1.7 2平方和の問題
1.8 第1章の問題

第2章 ガウス整数環
2.1 ガウス整数
2.2 ガウス整数の素数
2.3 約数,因数,倍数
2.4 単元
2.5 分解する素数
2.6 ガウス整数での素因数分解
2.7 ガウス整数の素数2 
2.8 第2章の問題

第3章 多項式環
3.1 有理係数多項式
3.2 多項式の和
3.3 多項式の積
3.4 多項式と関数
3.5 多項式の割り算
3.6 既約多項式への一意分解性
3.7 フェルマーの多項式版
3.8 第3章の問題

第4章 一般の環
4.1 環の公理
4.2 イデアル
4.3 イデアルによる剰余環
4.4 準同型
4.5 素イデアルと極大イデアル
4.6 整域
4.7 Rを係数環にもつ多項式環
4.8 整域の商体
4.9 約元,因子,倍元
4.10 第4章の問題

第5章 一意分解整域
5.1 既約元
5.2 素元
5.3 十六夜環
5.4 Z[√-2]の数
5.5 Z[√-3]の数
5.6 Z[ω]の数
5.7 UFD 
5.8 ガウスの補題
5.9 整な元
5.10 第5章の問題

第6章 イデアルの活用
6.1 環の直和
6.2 イデアルの共通部分
6.3 オイラー関数
6.4 小さな環
6.5 3つのイデアル
6.6 第6章の問題

第7章 循環小数
7.1 循環節の2分割和
7.2 証明
7.3 偶数位数の場合
7.4 位数が3の倍数の場合
7.5 分母が3pの場合
7.6 5分割和
7.7 2分割差
7.8 第7章の問題

第8章 環の幾何
8.1 ネーター環
8.2 ヒルベルトの基底定理
8.3 スペクトル
8.4 零点定理
8.5 スペクトルの位相
8.6 既約閉集合
8.7 第8章の問題