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早わかりベクトル解析―3つの定理が織りなす華麗な世界― 

書籍情報
シリーズ名数学のかんどころ 【25】巻
ISBN978-4-320-11066-3
判型A5 
ページ数208ページ
発行年月2014年05月
本体価格1,700円
早わかりベクトル解析 書影
早わかりベクトル解析

 本シリーズは,数学の急所と思われる部分,理解に困難を感じると思われる部分,また数学全体の理解に役立つと思われる部分を要点ごとにコンパクトにまとめたシリーズである。
 第25巻の本書は,ベクトル解析における基本をなす3つの定理の証明とその応用についての解説書である。学生などにとって,鬼門とされがちなベクトル解析ではあるが,その実,修得すべき内容は,「グリーンの定理」「ストークスの定理」「ガウスの定理」と,付随する演算子の理解で十分である。本書は,この3つの定理の証明を目標に,単純な図形や関数を用いながら,背景にある種々の知識を詳しく解説していく。また,知識の応用として「ジョルダンの曲線定理」の証明を紹介する。ベクトル解析を学ぶ上での大きな助けとなる書である。

目次

第1章 平面図形の積分
1.1 座標平面と基本的な図形
1.2 いろいろな図形
1.3 曲線と領域
1.4 平面図形上の積分
1.5 章末問題

第2章 空間図形の積分
2.1 空間ベクトル
2.2 空間曲線
2.3 空間曲面
2.4 空間図形上の積分
2.5 章末問題

第3章 グリーンの定理
3.1 三角形に対するグリーンの定理
3.2 グリーンの定理
3.3 グリーンの定理の計算例と応用例
3.4 章末問題

第4章 ベクトル場,スカラー場
4.1 勾配
4.2 3次元ベクトル場の発散
4.3 3次元ベクトルの回転
4.4 章末問題

第5章 ストークスの定理
5.1 外向き単位法線ベクトル
5.2 三角形に対するストークスの定理
5.3 ストークスの定理
5.4 ストークスの定理の計算例と応用例
5.5 章末問題

第6章 ガウスの定理
6.1 三角錐に対するガウスの定理
6.2 ガウスの定理
6.3 ガウスの定理の計算例と応用例
6.4 章末問題

第7章 図形の性質についての考察
7.1 平面図形の境界点
7.2 座標平面における開集合と閉集合
7.3 有界集合とコンパクト集合

第8章 積分についての考察
8.1 関数の一様連続性
8.2 平面図形上で定義された関数の積分
8.3 空間図形上で定義された関数の積分

第9章 積分の定義の再考
9.1 曲線の長さと線積分
9.2 面積分
9.3 グリーンの定理の証明

第10章 ベクトル解析の応用
10.1 完全形の微分方程式
10.2 回転数
10.3 逆写像の公式

第11章 ジョルダンの曲線定理
11.1 ジョルダンの曲線定理
11.2 ド・ラームコホモロジー
11.3 Cc-級写像
11.4 双対鎖写像
11.5 ジョルダンの曲線定理の証明

問題の解答
索引