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早わかりルベーグ積分

書籍情報
シリーズ名数学のかんどころ 【29】巻
ISBN978-4-320-11070-0
判型A5 
ページ数216ページ
発行年月2015年09月
本体価格1,900円
早わかりルベーグ積分 書影
早わかりルベーグ積分

ルベーグ積分で必要とされる定理は「単調収束定理」,「ファトゥの補題」,「ルベーグの収束定理」の3つである。これらの定理を使いこなせると,微分積分の科目で習得した一様収束の概念を経由することなく積分と極限の記号の交換ができるようになる。このことは解析学において基本になる。ルベーグ積分の教科書は非常に多いが,本書では最短の方法でこれらの定理に到達することができるように構成を工夫した。さらに,本書ではルベーグ積分がなぜ重要かを説明するために,関数の微分可能性に関して説明した。ほかの応用として,確率論,フーリエ解析とルベーグ積分が,それぞれどのように結びついているのかについて説明した。確率論やフーリエ解析の講義で素通りされやすい箇所に限定して説明している。これらは証明に時間がかかりすぎてしまうという難点があるが,測度論に関して詳述している本書の強みを生かしてこれらの箇所を丁寧に説明した。また,多くの演習問題を設け,それらに関する詳しい解答も与えた。

目次

第1章 n次元ルベーグ測度
1.1 外測度とルベーグ測度
1.2 可測集合と可測関数
1.3 ルベーグ積分の定義とリーマン積分との関係
1.4 重要な積分定理
1.5 フビニの定理
1.6 章末問題

第2章 抽象的な測度空間
2.1 σ-集合体と測度
2.2 積分不等式
2.3 ラドン・ニコディムの定理
2.4 章末問題

第3章 関数の微分可能性
3.1 被覆補題と極大作用素
3.2 ルベーグの微分定理
3.3 関数の微分可能性
3.4 章末問題

第4章 測度論の確率論への応用
4.1 測度論の立場から見た確率論
4.2 コルモゴロフの拡張定理
4.3 章末問題

第5章 ルベーグ積分のフーリエ解析への応用
5.1 2乗可積分関数のフーリエ級数
5.2 2乗可積分関数のフーリエ変換
5.3 章末問題

付録 数式の読みかた

問題の解答/索引