レイティング・ランキングの数理―No.1は誰か?― 

書籍情報
ISBN978-4-320-12390-8
判型B5 
ページ数328ページ
発行年月2015年07月
本体価格5,000円
レイティング・ランキングの数理 書影
レイティング・ランキングの数理

 ランキングはある集合の項目に順位付けを導入したものであり,レイティングはそれぞれの項目に評価とみなせる数値指標を紐づけたものである。スポーツ,政治,商品,ウェブページ,他にも多くの場面で,レイティングやランキングが使われている。また,レイティングやランキングの導出には様々な手法が用いられている。

 本書はレイティングとランキング手法が数理的にどのようになっており,またどのように使用,応用されているのかについて,魅力的に,なおかつわかりやすく解説する。Massey,Colley,Keener,Elo,Markovなど,今日採用されている異なる手法を概観,比較し,それらの得意,不得意を挙げ,なぜ,そしていつ使用するのかを説明している。また,無敗の取扱い,引分けの取扱い,重み付けなどの問題にも,重要な示唆を与える。さらに,簡単に理解できる本書を通したスポーツでの例や,興味深いトリビア,歴史的事実によって理解を深めることができ,必要な数学も多く解説されている。

 総じて,レイティングやランキングにまつわるあらゆる話題がちりばめられている。コンピューター科学者・数学者から学生,スポーツファン(とくにアメリカンフットボール),ギャンブラーまで,あらゆる層に受け入れられる書籍となろう。

目次

第1章 ランキング入門
社会的選択とArrowの不可能性定理
Arrowの不可能性定理
「いつもの例」とは

第2章 Masseyの手法
最初のMasseyのレイティング手法
Masseyの主な考え
Masseyのレイティング手法を使ったいつもの例
Masseyのレイティング手法の高度な機能
いつもの例:高度なMasseyのレイティング手法
Masseyのレイティング手法のまとめ

第3章 Colleyの手法
いつもの例
Colleyのレイティング手法のまとめ
Masseyの手法とColleyの手法の関連性

第4章 Keenerの手法
強さとレイティングの規則
強さの属性を選ぶ
Laplaceの継続法則
歪ませるべきか歪まさせざるべきか?
正規化
鶏と卵,どちらが先?
レイティング
強さ
要めの式
制約条件
Perron-Frobenius
重要な性質
レイティングベクトルを計算する
既約性と原始性を持たせる
要約
2009―2010のNFLシーズン
Jim Keener対Bill James
バック・トゥ・ザ・フューチャー
Keenerはあなたを金持ちにできるだろうか?
結論

第5章 Eloのシステム
エレガントな知恵
K因子
ロジスティックスのパラメーターξ
定数和
NFLでのElo
後知恵予想の正確さ
先見力による予測の正確さ
試合の得点を加味する
ξ = 1000, K = 32, H = 15のときの後知恵予測と先見力による予測
可変のK因子をNFLの得点と使用する
得点と可変K因子を用いた後知恵予測と先見力による予測
試合ごとの分析
結論

第6章 Markovの手法
Markovの手法
負けへの投票
敗者が得点差を投票する
勝者も敗者も失点を投票する
試合の得点以外
無敗チームの取り扱い
Markovのレイティング手法のまとめ
Markovの手法とMasseyの手法の関係

第7章 攻撃力・守備力レイティング手法
OD手法の目的
OD手法の前提
さて,どちらが先か?
交互精緻化プロセス
分離
攻撃力・守備力レイティングの組み合わせ
いつもの例
得点とヤード数
2009―2010年シーズンのNFLのODレイティング
ODレイティング手法の数学的解析
対角成分
Sinkhorn-Knopp
OD行列
ODレイティングとSinkhorn-Knoppの定理
ちょっとだけズルをする

第8章 再順序化によるランキング
ランキング差分
いつもの例
最適化問題を解く
条件を緩めた問題
進化的アルゴリズム
高度なランキング差分モデル
ランキング差分法のまとめ
ランキング差分行列の性質
レイティング差分
いつもの例
再順序化問題を解く
レイティング差分法のまとめ

第9章 ポイントスプレッド
ポイントスプレッドが意味する所と意味しない所
手数料(あるいは,暴利)
なぜ,オッズのみを提示しないのか?
スプレッド賭博は,どのように行なわれるのか?
スプレッドに勝つ
オーバーアンダー賭け
なぜ,レイティングで,スプレッドを予測するのが難しいのか?
(スプレッドを予測するための)レイティングを作るためにスプレッドを使う
NFL 2009―2010シーズンのスプレッドレイティング
いくつかのレイティングシステムの比較
他の対の比較
結論

第10章 ユーザープレファレンスのレイティング
直接比較
直接比較,プレファレンスグラフ,Markov連鎖
重心とMarkov連鎖
結論

第11章 引分けの扱い
入力引分けと,出力引分け
引分けを取り込む
Colleyの手法
Masseyの手法
Markovの手法
OD,Keener,Eloの手法
摂動解析からの理論的結果
実データセットからの結果
映画のランキング
NHLのホッケーチームのランキング
引分けの導入
まとめ

第12章 重み付けを組み込む
4つの基本的な重み付けのスキーム
重み付きMasseyの手法
重み付きColleyの手法
重み付きKeenerの手法
重み付きEloの手法
重み付きMarkovの手法
重み付きODの手法
重み付き差分法

第13章 「もしも」シナリオと感応度
階数1の更新の効果
感応度

第14章 ランキング集約―その1
Arrowの基準を再び
ランキング集約方法
Bordaカウント
平均ランキング
模擬試合データ
ランキング集約のグラフ理論法
ランキング集約の後の改良処置
レイティング集約
レイティング集約行列からレイティングベクトルを生成する
集約手法の要約

第15章 ランキング集約―その2
いつもの例
BILPを解く
当該BILPの多重最適解
BILPの線形計画緩和法
制約条件緩和法
感応度解析
限定(限界)
(最適化による)ランキング集約方法の要約
レイティング差手法,再び
レイティング差分手法とランキング集約手法
いつもの例

第16章 比較の方法
2つのランキングされたリストの定性的偏差
Kendallのタウ
完全リストにおけるKendallのタウ
部分リストにおけるKendallのタウ
完全リストについてのSpearmanの重み付け物差し
部分リストについてのSpearmanの重み付け物差し
長さの違う部分リスト
評価指標:既知の基準との比較
評価指標:集約されたリストとの比較
回顧的スコアリング
未来の予測
学習曲線
丘形状までの距離

第17章 データ
Masseyのスポーツデータサーバー
Pomeroyの大学バスケットボールのデータ
独自のデータをスクレイピングする
対の比較行列の作成

第18章 エピローグ
階層分析法
Redmondの手法
Park-Newmanの手法
ロジスティック回帰/Markov連鎖法(LRMC)
Hochbaumの手法
モンテカルロシミュレーション
筋金入りの統計分析
その他いろいろ