共立出版株式会社　刊行中のシリーズ『共立講座２１世紀の数学２７』

確率微分方程式
共立講座　21世紀の数学27
（ISBN4-320-01579-7）
長井英生　著
Ａ５判，240頁，本体3600円

●内容
　近年，確率微分方程式は，数理ファイナンス，制御工学，統計物理学，生物科学など様々な応用分野に目覚しい展開を見せている。こうした情勢を念頭に，その基礎理論と応用を，有機的につなげて解説。本書では，特に拡散過程の生成作用素，コルモゴロフ方程式の記述に粘性解の方法を用いている。その概念は確率微分方程式の解に関する期待値の満たす方程式を記述するのに極めて自然であり，ベルマン方程式の取り扱いとの一貫性も考慮。確率微分方程式と解析学を結び付ける上で基本的に重要な役割をする伊藤の公式の一般化についても触れている。

●目次

１．ブラウン運動とマルチンゲール

1.1　基礎概念

1.2　ブラウン運動

1.3　ブラウン運動の道の空間の上への実現

1.4　σ加法族の増大系，停止時刻

1.5　マルチンゲール：離散時間の場合

1.6　マルチンゲール：連続時間の場合

1.7　二次変分

２．確率積分

2.1　確率積分の定義

2.2　確率積分の特徴づけ

2.3　局所マルチンゲールに対する確率積分

2.4　伊藤の公式

2.5　定義再考

2.6　指数型マルチンゲールとGirsanovの定理

2.7　マルチンゲールの表現定理

2.8　Burkholder-Davis-Gundyの不等式

３．確率微分方程式

3.1　解の概念

3.2　解の存在と一意性，モーメント評価

3.3　線形確率微分方程式

3.4　マルコフ型確率微分方程式と確率的流れ

3.5　弱い解，マルチンゲール問題

3.6　ずれの変換，絶対連続性

４．拡散過程Ⅰ：推移半群とコルモゴロフ方程式

4.1　マルコフ性

4.2　Feller半群

4.3　L2半群

4.4　コルモゴロフ方程式，粘性解

５．確率制御と数理ファイナンス

5.1　確率制御問題の定式化

5.2　ベルマン方程式の古典解

5.3　ベルマン原理

5.4　ベルマン方程式の粘性解

5.5　定常問題

5.6　最適停止問題に対する処罰方程式

5.7　小さな不規則摂動

5.8　デリバティブの価格づけ

６．拡散過程Ⅱ

6.1　強連続縮小半群の生成作用素

6.2　ディリクレ形式

6.3　時間反転，対称性

6.4　局所時間，Skorohod方程式

6.5　伊藤の公式再考Ⅰ

6.6　伊藤の公式再考Ⅱ

6.7　ディリクレ問題と解の確率論的表現

6.8　最適停止問題と変分不等式

７．付録

7.1　グロンウォール不等式

7.2　一様可積分確率変数列

7.3　ディンキン系定理

7.4　Kolmogorov-Chentsovの定理

7.5　正則条件付き確率

7.6　Kolmogorovの拡張定理（定理1.3.1）の証明

7.7　粘性解の一意性

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