3次元リッチフローと幾何学的トポロジー

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3次元リッチフローと幾何学的トポロジー
著者 戸田 正人 著・ 新井 仁之 編・ 小林 俊行 編・ 斎藤 毅 編・ 吉田 朋広
分野 数学  > 位相  > 位相幾何学
数学  > 微分方程式  > 偏微分方程式
シリーズ 数学  > 共立講座 数学の輝き 全40巻予定 9
発売日 2017/03/27
ISBN 9784320112032
体裁 A5・328頁
定価 4,950円 (本体4,500円 + 税10%)
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 ペレルマンがサーストンの幾何化予想を解決してからすでに10年が経ち、その手法はすでに幾何学の基礎になりつつある。本書ではその手法を最小限の知識を前提として解説することを試みた。

 直接解決に用いられたリッチフローの解析について述べるだけでなく、予備知識がない読者でも幾何化予想の内容を無理なく理解できるよう最初にページを割いて3次元多様体論、とくに幾何構造と標準分解について述べた。リッチフローに関しては最大値原理やコンパクト性定理など基本定理について初歩から論じ、これらの準備のもとにペレルマンの主要なアイデアを解説していく。また原論文を読もうとする意欲ある読者の指針となるように、最後に予想の解決の技術的な議論を概観した。
第1章 幾何構造と双曲幾何
1.1 幾何構造の一般論
1.2 双曲モデルと双曲変換
1.3 双曲三角形の比較定理
1.4 多面体による構成
1.5 体積有限双曲多様体の構造
1.6 ファイバー束の幾何構造
1.7 幾何モデルの分類

第2章 3次元多様体の分解
2.1 PL-構造と微分構造
2.2 3次元多様体内の曲面
2.3 Heegard 分解と素因子分解
2.4 ループ定理と球面定理
2.5 ザイフェルト多様体
2.6 JSJ-分解
2.7 幾何化予想

第3章 リッチフローの基本定理
3.1 方程式と特殊解
3.2 初期値問題
3.3 最大値原理の一般論
3.4 最大値原理の応用
3.5 ヤコビ場の評価
3.6 局所評価
3.7 コンパクト性

第4章 リッチフローの特異性
4.1 局所L-幾何
4.2 局所非崩壊定理
4.3 共役熱方程式とL-幾何
4.4 リーマン幾何からの準備
4.5 非負曲率空間の幾何
4.6 κ解の性質
4.7 κ解の分類
4.8 標準近傍定理
4.9 特異時刻における連結和分解
4.10 長時間挙動

付録 ファイバー束と接続

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