複素関数とその応用
―複素平面でみえる物理を理解するために―
本書は大学に入って初めて遭遇する、複素数を変数とする複素関数を中心に、フーリエ解析（フーリエ級数、フーリエ変換）や特殊関数（ルジャンドル関数、ベッセル関数）を内容に含めた演習書である。さらに、本書にはすべて収まりきれないが、関連している微分方程式の初期値、境界値問題にも簡単にふれた。
これらの数学は物理を学ぶものにとって、大切な道具である。本書では、これらの数学がどのように役に立つのか、物理の場面でどのように使われるのか、について少しでも伝わるように務めた。このため定理の証明は教科書に任せて、数学を使えるようになることをめざし、物理に関連した、実用的な例題を多く選んだ。基本的に教科書で一通りの勉強をした後に、本書が用いられることを想定している。
自分の手を動かして、時間をかけないといけない。問題によっては、決まったやり口の解き方がある。これを知らない初学生にはすぐに解けるはずもない。本書ではいろいろなやり口の経験を積み重ね、読者が将来新しい問題に遭遇したときに問題解決の糸口のさまざまな引き出しを持てるように、いろいろな側面を詰め込んだつもりである。
これらの数学は物理を学ぶものにとって、大切な道具である。本書では、これらの数学がどのように役に立つのか、物理の場面でどのように使われるのか、について少しでも伝わるように務めた。このため定理の証明は教科書に任せて、数学を使えるようになることをめざし、物理に関連した、実用的な例題を多く選んだ。基本的に教科書で一通りの勉強をした後に、本書が用いられることを想定している。
自分の手を動かして、時間をかけないといけない。問題によっては、決まったやり口の解き方がある。これを知らない初学生にはすぐに解けるはずもない。本書ではいろいろなやり口の経験を積み重ね、読者が将来新しい問題に遭遇したときに問題解決の糸口のさまざまな引き出しを持てるように、いろいろな側面を詰め込んだつもりである。
1 複素数と複素関数
例題1【複素平面・四則演算】
例題2【初等関数・累乗関数】
2 複素関数の微分と積分
例題3【コーシー・リーマンの関係式】
例題4【複素積分】
例題5【コーシーの積分定理】
3 コーシーの積分公式と応用
例題6【コーシーの積分公式】
例題7【テイラー，ローラン展開】
例題8【留数, 留数定理】
例題9【留数定理の定積分への応用】
4 多価関数とリーマン面
例題10【多価関数】
例題11【実関数の積分】
5 フーリエ級数
例題12【三角多項式】
例題13【フーリエ級数展開】
例題14【常微分方程式への応用】
例題15【偏微分方程式への応用】
6 フーリエ変換
例題16【フーリエ変換】
例題17【たたみこみ】
例題18【偏微分方程式への応用】
例題19【ディラックのデルタ関数】
例題20【3次元のフーリエ変換】
7 直交関数系
例題21【スツルム・リュヴィル型微分方程式】
8 ルジャンドル多項式
例題22【微分方程式】
例題23【ルジャンドル多項式】
例題24【ルジャンドル多項式の性質】
例題25【ルジャンドル展開】
例題26【球面調和関数】
9 ベッセル関数
例題27【微分方程式】
例題28【積分表示】
例題29【フーリエ・ベッセル展開】
例題30【球ベッセル関数】
10 参考文献
11 付録
12 発展問題解答
例題1【複素平面・四則演算】
例題2【初等関数・累乗関数】
2 複素関数の微分と積分
例題3【コーシー・リーマンの関係式】
例題4【複素積分】
例題5【コーシーの積分定理】
3 コーシーの積分公式と応用
例題6【コーシーの積分公式】
例題7【テイラー，ローラン展開】
例題8【留数, 留数定理】
例題9【留数定理の定積分への応用】
4 多価関数とリーマン面
例題10【多価関数】
例題11【実関数の積分】
5 フーリエ級数
例題12【三角多項式】
例題13【フーリエ級数展開】
例題14【常微分方程式への応用】
例題15【偏微分方程式への応用】
6 フーリエ変換
例題16【フーリエ変換】
例題17【たたみこみ】
例題18【偏微分方程式への応用】
例題19【ディラックのデルタ関数】
例題20【3次元のフーリエ変換】
7 直交関数系
例題21【スツルム・リュヴィル型微分方程式】
8 ルジャンドル多項式
例題22【微分方程式】
例題23【ルジャンドル多項式】
例題24【ルジャンドル多項式の性質】
例題25【ルジャンドル展開】
例題26【球面調和関数】
9 ベッセル関数
例題27【微分方程式】
例題28【積分表示】
例題29【フーリエ・ベッセル展開】
例題30【球ベッセル関数】
10 参考文献
11 付録
12 発展問題解答
