体論，これはおもしろい
―方程式と体の理論―
本シリーズは、数学の急所と思われる部分、理解に困難を感じると思われる部分、また数学全体の理解に役立つと思われる部分を要点ごとにコンパクトにまとめたシリーズである。第18巻の本書では、近代代数学の中核である体の理論について述べる。数学者アーベルは、5次方程式のべき根による根の公式の不存在をしめすことに成功した。本書の目的は、このアーベルの方程式論の根幹を解説することである。
第1章 無理数性の証明
1.1 累乗根はいつ無理数か
1.2 整数根の定理
1.3 無理数と1次独立性
1.4 代数的数
1.5 イデアルとは
1.6 第1章の問題
第2章 体とベクトル
2.1 一般の体
2.2 体の性質
2.3 一般の多項式環
2.4 新しい数
2.5 代数的閉包
2.6 ベクトル空間の公理
2.7 1次独立性と次元
2.8 平方根の和
2.9 代数的数の定理
2.10 第2章の問題
第3章 対称式と根
3.1 対称式
3.2 一般の場合
3.3 対称式の基本定理
3.4 対称式の定義と群
3.5 複比
3.6 第3章の問題
第4章 共役と準同型
4.1 複素共役
4.2 環準同型と代入
4.3 複素数の有理共役
4.4 ガロア体
4.5 平方根の和の場合
4.6 ガロア群の例
4.7 第4章の問題
第5章 根の公式
5.1 2次方程式の根の公式
5.2 3次方程式の根の公式
5.3 因数分解と根の公式
5.4 4次の公式
5.5 5次方程式の場合
5.6 ラプラスによる証明
5.7 第5章の問題
第6章 有限体
6.1 素体
6.2 ツァッセンハウスの定理
6.3 乗法群
6.4 原始根
6.5 多項式の分解
6.6 係数環が有限体のとき
6.7 第6章の問題
1.1 累乗根はいつ無理数か
1.2 整数根の定理
1.3 無理数と1次独立性
1.4 代数的数
1.5 イデアルとは
1.6 第1章の問題
第2章 体とベクトル
2.1 一般の体
2.2 体の性質
2.3 一般の多項式環
2.4 新しい数
2.5 代数的閉包
2.6 ベクトル空間の公理
2.7 1次独立性と次元
2.8 平方根の和
2.9 代数的数の定理
2.10 第2章の問題
第3章 対称式と根
3.1 対称式
3.2 一般の場合
3.3 対称式の基本定理
3.4 対称式の定義と群
3.5 複比
3.6 第3章の問題
第4章 共役と準同型
4.1 複素共役
4.2 環準同型と代入
4.3 複素数の有理共役
4.4 ガロア体
4.5 平方根の和の場合
4.6 ガロア群の例
4.7 第4章の問題
第5章 根の公式
5.1 2次方程式の根の公式
5.2 3次方程式の根の公式
5.3 因数分解と根の公式
5.4 4次の公式
5.5 5次方程式の場合
5.6 ラプラスによる証明
5.7 第5章の問題
第6章 有限体
6.1 素体
6.2 ツァッセンハウスの定理
6.3 乗法群
6.4 原始根
6.5 多項式の分解
6.6 係数環が有限体のとき
6.7 第6章の問題
