次元解析入門

次元解析入門
著者 矢崎 成俊
分野 数学  > 応用数学
物理学  > 基礎物理学  > 物理実験
シリーズ 数学  > 数学のかんどころ 40
発売日 2022/05/30
ISBN 9784320113930
体裁 A5・250頁
定価 2,090円 (本体1,900円 + 税10%)
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「鯨のように巨大な鳥がいないのは、なぜだろう?」「”ジャックと豆の木”のような天高く伸びる木が無いのは、なぜだろう?」

直感的に「身体が大きすぎれば羽搏いて空は飛べないだろうし、樹木が折れることなく何百~何千メートルも伸びるはずがない」ということは当然のこととして想像できるが、しかしその証明となると容易なことではないだろう。
本書では、重さや速さ、強度などといった、あらゆる物事にまつわる「量」や「単位」の関係性に着目し、適切なモデル化を行なうことで、難解な方程式などを経ることなく自然現象の不思議を解き明かすことが出来る「次元解析」について詳しく解説を行う。

全体は3部構成になっている。導入となる第0章で次元(ディメンジョン)や次元解析の考え方についてまとめる。
第I部では「量・単位・次元とは何か」をあらためて考えたのち、自動車の制動を例として、数学や物理学で用いる種々の方程式による解析と次元解析との比較を行い、次元解析の有用性について考察する。
第II部では、振り子運動、物体の粘性、錐体の落下運動、動植物の大きさの法則といった多数の身近な話題を例にとり、次元解析を駆使して様々な自然現象の検証を行なっていく。

「解析」と名が付くものの、次元解析で必要となる前提知識としては指数関数の四則演算程度で事足りる。
それでも解析結果から得られる情報量は非常に多いため、大変興味深い分野ではあるのだが、次元解析に特化した成書は海外含めほとんどない。
本書では、読者の自然現象・社会現象に対する理解を深め、新たな考える視点を与えるべく楽しく解説している。

第0章 次元と次元解析の考え方
0.1 次元とは何か
0.2 次元のべきの競争 ―クジラのように大きい鳥がいないのはなぜか
0.3 次元解析の簡単な導入 ―落下距離が時間の2乗に比例する理由
0.4 ピタゴラスの定理
0.5 素朴な疑問

第I部 基礎編
第1章 量,単位,次元
1.1 量と単位
1.2 単位の変換
1.3 次元と国際単位系(SI)
1.4 一貫性のあるSI組立単位
1.5 SI基本単位の定義

第2章 次元解析の理論的基礎
2.1 次元再説
2.2 次元はべき乗の単項式
2.3 独立した次元を持つ量の組
2.4 支配量
2.5 Π定理
2.6 極限と次元
2.7 面積や体積の単位と次元

第3章 次元解析と他の解析の比較:車は急に止まれない
3.1 停止距離
3.2 データの近似解析
3.3 次元解析
3.4 漸化式(運動方程式(0.4))による解析
3.5 運動方程式(0.8)による解析

第4章 次元解析の発展に寄与した主たる人物たち
4.1 フーリエの要請以前と以後
4.2 ヴィエートによる方程式の解法
4.3 デカルトの表記法
4.4 四元数とベクトル
4.5 ベクトル量の次元解析

第II部 実践編
第5章 振り子の運動と相対誤差
5.1 振り子の周期
5.2 相対誤差
5.3 運動方程式から周期の理論値を求める
5.4 張力を考慮した次元解析

第6章 物体の周りの流れと物体の落下
6.1 流体の粘性
6.2 円錐の落下実験

第7章 動植物の大きさの法則
7.1 クライバーの3/4乗則
7.2 ロバート・フックのアナグラムと棒のたわみ
7.3 ガリレオの骨とマクマホンの弾性相似モデル

問題の解答例
参考文献
索引

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