フリーズの数学 スケッチ帖

―数と幾何のきらめき―

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著者 西山 享
分野 数学  > 代数学  > 表現論
数学  > 幾何学  > 図形
数学  > 整数論  > 初等整数論
数学  > 離散数学  > 組合せ論
発売日 2022/07/11
ISBN 9784320114715
体裁 A5・312頁
定価 3,520円 (本体3,200円 + 税10%)
  • この本の
    内容
  • 目次

数をならべてみる ~ 単純な数字のならびが数学の扉をひらく~

 二人の天才数学者、コンウェイとコクセターが発見した美しい数字のパターンがフリーズ (frieze) である。
 フリーズの数学は、多角形の三角形分割と組合せ論、連分数、射影平面上の点配置、球面幾何学など、整数論はいうにおよばず、グラフ理論や幾何学、より高度な代数学へと驚くべき広がりを見せ、現在も活発な研究が続いているホットな話題である。
 本書はそのフリーズを基本から解説した、数学の初心者から研究者までがたのしめる日本で最初の「フリーズの数学」への入門書である。

 

 

 

第1章 プロローグ

第2章 帯状フリーズ
§2.1 帯状のフリーズ
§2.2 多角形の三角形分割とquiddity=奇蹄列
§2.3 カタラン数
§2.4 差分方程式とユニモジュラ規則
§2.5 Conway-Coxeterの定理

第3章 三角形分割の組合せ論とフリーズ
§3.1 フリーズ対角線の計算:Conway-Coxeterのアルゴリズム
§3.2 Broline-Crowe-Isaacsの定理
§3.3 定理3.5の証明
§3.4 Broline-Crowe-Isaacsの対合写像
§3.5 フリーズの並進鏡映対称性
§3.6 基本三角形領域と双対グラフ
§3.7 フリーズ内の1と2の配置

第4章 連分因子とフリーズ方程式
§4.1 連分因子
§4.2 フリーズと連分因子
§4.3 フリーズ方程式
コラム ディオファントス問題

第5章 ロタンダスと中心対称な三角形分割
§5.1 ロタンダス
§5.2 ロタンダスと行列式
§5.3 フリーズとDesnanot-Jacobi恒等式
§5.4 中心対称な奇蹄列とロタンダス
§5.5 ロタンダス超曲面
§5.6 3回転対称な奇蹄列とロタンダス
§5.7 フリーズ多様体とロタンダス超曲面

第6章 連分数
§6.1 オイラーと連分数
§6.2 無限連分数
 6.2.1 円周率の連分数展開
 6.2.2 ネイピアの数
 6.2.3 さまざまな連分数展開
§6.3 連分数とフリーズ

第7章 ガウスの奇跡の五芒星
§7.1 球面幾何学
§7.2 五芒星
§7.3 ガウスのフリーズ
§7.4 五芒星とフリーズ
§7.5 球面三角定理
§7.6 補題7.4の証明

第8章 ファレイの迷宮へようこそ
§8.1 ファレイ数列
§8.2 ファレイ多角形と三角形分割
§8.3 隣接ファレイ項とファレイグラフの性質
§8.4 有理射影直線と一次分数変換
§8.5 ファレイ多角形と奇蹄列

第9章 ファレイ多角形とフリーズ
§9.1 フリーズの隣接項
§9.2 フリーズの成分表示
§9.3 ファレイ多角形からのフリーズの生成
§9.4 ファレイ多角形の奇蹄列とフリーズ
§9.5 三位一体
§9.6 Conway-Coxeterのアルゴリズム再訪
§9.7 Coxeter-Rigbyの公式

第10章 三角形分割と二部グラフの完全マッチング
§10.1 グラフと二部グラフ
§10.2 三角形分割とグラフ
 10.2.1 双対グラフ
 10.2.2 二部グラフ
§10.3 完全マッチング
§10.4 ローラン多項式現象と正値性
§10.5 縮約公式の証明と飾り付きフリーズ

第11章 飾り付きフリーズ
§11.1 飾り付きフリーズとは
§11.2 Coxeterの飾り付き行列式公式
§11.3 飾り付きCoxeter-Rigbyの公式
§11.4 飾り付きConway-Coxeterのアルゴリズム

第12章 クラスター代数
§12.1 ローラン多項式環
§12.2 クラスター代数
§12.3 フリーズとクラスター

第13章 配置空間とフリーズ多様体
§13.1 複素数のフリーズ
§13.2 差分方程式
§13.3 Coxeter-Rigbyの公式
§13.4 第1対角線と第2対角線
§13.5 Conway-Coxeterのアルゴリズム
§13.6 フリーズ方程式とフリーズ多様体
§13.7 複素射影直線
§13.8 一次分数変換
§13.9 射影直線上の点配置
§13.10 フリーズと点配置
§13.11 点配置を越えて

第14章 フリーズの例
§14.1 5角形のフリーズ
§14.2 6角形のフリーズ
§14.3 7角形のフリーズ
§14.4 8角形のフリーズ
§14.5 9角形のフリーズ
§14.6 中心回転対称
§14.7 3回転対称

第15章 附録
§15.1 2次の行列式
§15.2 3次の行列式
§15.3 複比
§15.4 補題5.13の証明
§15.5 フリーズの中心対称性と3回転対称性

あとがき

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