ポアンカレ予想

―高次元から低次元へ―

ポアンカレ予想
著者 小島 定吉 著・ 石川 剛郎 編・ 大槻 知忠 編・ 佐伯 修 編・ 三松 佳彦
分野 数学  > 幾何学  > 微分幾何学
数学  > 位相  > トポロジー
数学  > 位相  > 位相幾何学
数学  > 位相  > 代数的位相幾何学
数学  > 位相  > 微分位相幾何学
シリーズ 数学  > ひろがるトポロジー
発売日 2022/09/14
ISBN 9784320115033
体裁 A5・168頁
定価 3,630円 (本体3,300円 + 税10%)
  • この本の
    内容
  • 目次

1904年に、3次元球面のトポロジーの基本群による特徴付けを主張するポアンカレ予想が提唱された。1950年代後半から一般化された予想の5次元以上での解決、その後、位相的な手法による4次元での解決があり、最終的に2002年と2003年にペレルマンによりポアンカレ予想は解決された。本書は、高次元から低次元へと進んだ三つの異なる手法を解説するのが目的である。ポアンカレ予想に関する成書は数多いが、次元に依存するアプローチを一冊にまとめたのは、おそらく本書が初めてである。

第1章 ポアンカレ予想
1.1 ポアンカレ以前
1.2 ポアンカレの位置解析
1.3 100年の歴史

第2章 代数的トポロジーダイジェスト
2.1 トポロジーの基礎概念
2.2 ホモトピー群
2.3 (コ)ホモロジー群

第3章 高次元
3.1 エキゾティック構造
3.2 スメイルのh-同境定理
3.3 h-同境定理の証明

第4章 4次元
4.1 キャッソンハンドル
4.2 フリードマンの定理とその系

第5章 3次元
5.1 4次元以上 vs 3次元
5.2 幾何化予想
5.3 リーマン幾何からの準備
5.4 リッチフロー

第6章 解決から20年
6.1 歴史の一区切り
6.2 明日へ

参考文献

索引

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