数論入門講義―数と楕円曲線― 

書籍情報
ISBN978-4-320-01711-5
判型A5 
ページ数256ページ
発行年月2002年10月
価格3,960円(税込)
数論入門講義 書影
数論入門講義

本書は,原著の表題が示すように,数論のいくつかのトピックを扱ったものである。Brigham Young大学で行われた講義が元になっている。内容は,整数論の中でも代数的なものと楕円曲線の話が主体になっており,いわゆる“Mordell-Weilの定理”とそれに関連したことがらを目標に展開されている。初学者が読みやすいようにいろいろと工夫を凝らしたユニークな数論への入門書である。
(原著 J. S. Chahal: Topics in Number Theory, Plenum Press, 1988)

目次

第1章 整数の基本的性質
1.1 整除
1.2 整除アルゴリズム
1.3 素数
1.4 合同
1.5 Diophantus 方程式
1.6 合同数

第2章 代数的方法
2.1 群
2.2 部分群
2.3 剰余群
2.4 元の位数
2.5 群の直積
2.6 群の生成元
2.7 群準同型
2.8 環
2.9 環準同型
2.10 体
2.11 有理体
2.12 環上の多項式

第3章 形式による整数の表現
3.1 はじめに
3.2 平方剰余の相互法則
3.3 ある特別な2次形式
3.4 2次形式の同値
3.5 正値2次形式の最小値
3.6 正値2次形式の被約

第4章 代数体
4.1 はじめに
4.2 数体
4.3 多項式の判別式
4.4 共役体
4.5 代数的整数
4.6 整数基
4.7 単数群
4.8 2次体と円分体

第5章 代数曲線
5.1 はじめに
5.2 準備
5.3 斉次多項式と射影空間
5.4 平面代数曲線
5.5 曲線の特異点
5.6 双有理幾何
5.7 代数幾何からのいくつかの結果
5.8 曲線の種数
5.9 楕円曲線
5.10 群の法則

第6章 Mordell-Weil の定理
6.1 はじめに
6.2 有理点の高さ
6.3 共線点の横座標
6.4 線形代数の復習
6.5 降下
6.6 Mordeii-Weil の定理

第7章 Mordell-Weil 群の計算
7.1 はじめに
7.2 2倍写像の分解
7.3 階数についての公式
7.4 α(Γ)の計算
7.5 例 その1
7.6 有限位数の点
7.7 例 その2
7.8 合同数への応用

第8章 有限体上の方程式
8.1 Riemann の仮説
8.2 Hasse の定理のManin による証明
8.3 基本等式の証明
8.4 解析的方法
8.5 合同数問題への応用
8.6 高種数の曲線についての注意

付録 Weierstrass の理論
A.1 複素解析の復習
A.2 楕円関数
A.3 Weierstrass 方程式
A.4 加法定理
A.5 楕円曲線の同型類
A.6 楕円曲線の自己準同型
A.7 有限位数の点

偉大な数論学者たち