フラクタル幾何学

書籍情報
シリーズ名新しい解析学の流れ 
ISBN978-4-320-01801-3
判型A5 
ページ数464ページ
発行年月2006年12月
本体価格5,200円
フラクタル幾何学 書影
フラクタル幾何学

 近年,フラクタルに対する関心はさまざまな分野においてますます高まっている。本書は,フラクタルや次元といった概念の数学的基礎を,数学以外の専攻の人にも理解してもらうことを目的とし,やさしく解説している。
 本書はII部構成となっている。第I部ではフラクタルにおける一般的な理論を扱い,様々な次元の定義とその計算方法,フラクタルの幾何学的な性質,局所的な形,射影,共通部分などを考察する。第II部では数学や物理学の様々な分野で得られた例を扱い,自己相似集合,自己アフィン集合,力学系,ランダムフラクタルなどを考察する。
 説明には非常に多くの図が用いられ,読者の理解を助けている。また,豊富な演習問題が盛り込まれており,学部や大学院におけるテキストとしても使用できる。

目次

第I部 数学的基礎
第1章 数学的背景
1.1 集合論の基礎
1.2 関数と極限
1.3 測度と質量分布
1.4 確率論に関すること
1.5 注と文献

第2章 ハウスドルフ測度および次元
2.1 ハウスドルフ測度
2.2 ハウスドルフ次元
2.3 ハウスドルフ次元の計算――簡単な例
2.4 ハウスドルフ次元の同値な定義
2.5 次元のより精密な定義
2.6 注と文献

第3章 次元の別の定義
3.1 ボックス次元
3.2 ボックス次元の性質と問題点
3.3 変形ボックス次元
3.4 パッキング測度といくつかの次元
3.5 いくつかの他の次元の定義
3.6 注と文献

第4章 次元計算の技術
4.1 基本的方法
4.2 有限測度の集合
4.3 ポテンシャル論的方法
4.4 フーリエ変換による方法
4.5 注と文献

第5章 フラクタルの局所構造
5.1 密度
5.2 1集合の構造
5.3 s 集合の接線
5.4 注と文献

第6章 フラクタルの射影
6.1 任意の集合の射影
6.2 整数次元の s 集合の射影
6.3 任意次元の任意集合の射影
6.4 注と文献

第7章 フラクタルの直積
7.1 直積公式
7.2 注と文献

第8章 フラクタルの共通部分
8.1 フラクタルの共通部分の公式
8.2 大きな共通部分をもつ集合
8.3 注と文献

第II部 応用と例
第9章 反復関数系――自己相似集合と自己アフィン集合
9.1 反復関数系
9.2 自己相似集合の次元
9.3 いくつかの変形版
9.4 自己アフィン集合
9.5 画像の符号化への応用
9.6 注と文献

第10章 整数論における例
10.1 数の桁の分布
10.2 連分数
10.3 ディオファンタス近似
10.4 注と文献

第11章 関数のグラフ
11.1 グラフの次元
11.2 フラクタル関数の自己相関
11.3 注と文献

第12章 純粋数学における例
12.1 双対性と掛谷問題
12.2 Vitushukin予想
12.3 凸曲面
12.4 非整数次元と群と環
12.5 注と文献

第13章 力学系
13.1 反発点と反復関数系
13.2 ロジスティック写像
13.3 引き伸ばしおよび折り畳み写像
13.4 ソレノイド
13.5 連続力学系
13.6 小分母の理論
13.7 リャプノフ指数とエントロピー
13.8 注と文献

第14章 複素関数の反復――ジュリア集合
14.1 ジュリア集合の一般論
14.2 2次関数――マンデルブロー集合
14.3 2次関数のジュリア集合
14.4 擬円の次元による特徴づけ
14.5 多項式方程式に対するニュートン法
14.6 注と文献

第15章 ランダムフラクタル
15.1 ランダムなカントール集合
15.2 フラクタル・パーコレーション
15.3 注と文献

第16章 ブラウン運動とブラウン表面
16.1 ブラウン運動
16.2 非整数ブラウン運動
16.3 安定レヴィ過程
16.4 非整数ブラウン表面
16.5 注と文献

第17章 マルチフラクタル測度
17.1 粗理論によるマルチフラクタル解析
17.2 精細理論によるマルチフラクタル解析
17.3 自己相似なマルチフラクタル
17.4 注と文献

第18章 物理学への応用
18.1 フラクタル成長
18.2 静電ポテンシャルと重力ポテンシャルの特異点
18.3 流体力学と乱流
18.4 フラクタル・アンテナ
18.5 ファイナンスにおけるフラクタル
18.6 注と文献