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線型代数と整数入門

書籍情報
シリーズ名教育系学生のための数学シリーズ 
ISBN978-4-320-01821-1
判型A5 
ページ数240ページ
発行年月2006年03月
本体価格2,500円
線型代数と整数入門 書影
線型代数と整数入門

 本書は,「線型代数編」と「整数入門編」からなる。
 「線型代数編」は,行列や行列式の性質に慣れることを主たる目的として書かれており,「固有値」「対角化可能性」「ジョルダンの標準形」などは含まれない。それらはその後の学習となる。
 第5章の行列式は,置換を使わずにいきなり展開式で定義する。行列式の基本性質と計算法に早く慣れるには大変効果的であるのだが,これによっていくつかの主張の完全な証明ができなくなってしまった。だが,第7章として付録の章「置換による行列式の定義」をつけ加えたので,証明なしに読み進むことの気持ちの悪さは払拭されるだろう。
 第6章は一般的な(いわゆる抽象的な)「ベクトル空間」の理論である。ベクトルと線型変換の"近代的な"扱いが述べられている。先行する章とは,気分がガラリと変わるはずである。「基底」「次元」など,数学全体において重要な役割を果たす概念が説明される。
 「整数入門編」は,短い叙述だが,このあと代数学のどの方面に入るにしろ,その入門としての役割を果たしている。
教壇に立つ人たちの立場でいえば,「線型代数」が高校の教材でありこの「整数入門」は小・中学校の教材で,履修の順序が逆ではないかと思われるかもしれない。しかし整数を学習するのは,線型代数や集合など,数学にある程度慣れてからのほうがよい。これだけでは物足りない読者諸君には参考文献を挙げておいた。是非先へと進んでほしい。
(「はじめに」より抜粋)

目次

線型代数編
第1章 行列
1.1 行列の定義
1.2 行列の演算
練習問題

第2章 集合と写像
2.1 集合
2.2 写像
2.3 写像の合成
2.4 逆写像
練習問題

第3章 線型写像
3.1 線型写像と行列
3.2 逆行列
3.3 逆行列と逆変換
3.4 直交行列
練習問題

第4章 連立1次方程式
4.1 連立1次方程式と行列
4.2 掃き出し法
4.3 基本行列
練習問題

第5章 行列式
5.1 低い次数の行列式
5.2 余因子,行列式の帰納的定義
5.3 行列式の基本性質
5.4 可逆性と行列式
5.5 同次連立方程式
練習問題

第6章 ベクトル空間
6.1 ベクトル空間の定義
6.2 生成系,線型独立性,従属性
6.3 基底,次元
6.4 線型写像とその行列表現
6.5 部分空間の次元
6.6 基底の取り替え
練習問題

第7章 付録:置換による行列式の定義
7.1 置換
7.2 置換の偶奇性
7.3 行列式
7.4 行列式の基本性質
7.5 展開式,第5章との関係
練習問題

整数入門編
第8章 整数と整除
8.1 ユークリッドの整除
8.2 イデアル
8.3 最大公約数と最小公倍数
8.4 素因数分解定理
8.5 ユークリッドのアルゴリスム
練習問題

第9章 整数の合同
9.1 合同関係
9.2 剰余類集合
9.3 mod m での可逆性
9.4 オイラー関数,フェルマ-オイラーの定理
練習問題

参考文献
問題の解答