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常微分方程式入門

こちらの書籍は旧版です。最新版は常微分方程式入門 第3版となります。

書籍情報
ISBN978-4-320-01911-9
判型A5 
ページ数160ページ
発行年月2009年11月
本体価格1,900円
常微分方程式入門 書影
常微分方程式入門

 本書は,理工系学生向けに書かれた常微分方程式の入門書です。著者が長年にわたり工学部で行ってきた常微分方程式の講義を基にして整理加筆したものであり,理工系学部の2年生あたりを対象にした半期の教科書あるいは入門参考書として編集されています。
 ニュートン,ライプニッツによる微積分学の誕生と同時に常微分方程式は出現し,以来300年以上にわたって物理学や工学の諸分野で重要な役割をはたしてきています。一般的に,求積法で厳密解を求め得る常微分方程式は非常に少ないことが20世紀初頭に証明されていますが,定数係数の線形常微分方程式は厳密解が求まることがわかっています。
 理工系学部の学生は1年次あるいは2年次で力学の講義を履修する際に運動方程式を介して常微分方程式に出会います。そこで扱われるのは主として単振動の方程式に代表される定数係数の2階線形常微分方程式であり,外力項をもつ常微分方程式の厳密解を求めることが要求されます。
 本書は常微分方程式の解法だけに的を絞っており,微積分学を学び終えた学生が常微分方程式の解法に習熟できるよう例題をできるだけ多くし,解法自体も整理した形で解説しています。
 第1章では1階の常微分方程式の簡単な求積法について解説しました。
 第2章では定数係数の線形常微分方程式に対し微分演算子を用いた記号解法を詳しく解説しています。
 第3章では常微分方程式の級数解法について解説してあり,主な方程式としてルジャンドルの微分方程式とベッセルの微分方程式を取り扱っています。
 本文中では常微分方程式の理論について触れていないので,付録Aで解の存在と一意性の定理,付録B 行列の理論を用いた連立微分方程式の解法を解説しました。最近は,微分方程式で記述された数理モデルをコンピュータで数値シミュレーションすることも多いので,付録Dで常微分方程式の数値解法について簡単に触れてあります。
 本書では,常微分方程式の解法を理解しやすくするため,定理や公式の後に例や例題をできるだけ多く収録しています。また,理解を助けるため,必要に応じて注意書きを加えています。例題には詳しい解答が付してあり,例題の後には問も付けてあるので,例題を読んで問を解いていけば,自然に解法が身につき自学自習できるようになっています。各章末には理解を深めるための演習問題があり,巻末には問と演習問題の解答を付けてあります。

目次

第1章 序論
1.1 プロローグ
1.2 常微分方程式の初期値問題
1.3 1階常微分方程式の幾何学的意味
1.4 変数分離形常微分方程式の求積法
1.5 定数変化法
演習問題

第2章 線形常微分方程式の解法
2.1 n 階線形常微分方程式
2.2 関数の1次独立性
2.3 同次線形方程式の一般解
2.4 非同次線形方程式の一般解を求める手順
2.5 微分演算子
2.6 逆演算子
2.7 定数係数同次線形微分方程式の解法
2.8 定数係数非同次線形微分方程式の解法
2.9 定数係数連立線形常微分方程式の解法
2.10 定数係数に帰着できる変数係数微分方程式
演習問題

第3章 級数解法
3.1 べき級数による解法例
3.2 べき級数解をもつための十分条件
3.3 ルジャンドルの微分方程式
3.4 ベッセルの微分方程式とベッセル関数
演習問題

エピローグ

付録A 解の存在と一意性の定理
付録B 行列の理論を用いた連立微分方程式の解法
付録C ガンマ関数
付録D 数値解法
D.1 オイラー法
D.2 ルンゲ・クッタ法

問題略解

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