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計算で身につくトポロジー

書籍情報
ISBN978-4-320-11039-7
判型A5 
ページ数224ページ
発行年月2013年07月
本体価格2,800円
計算で身につくトポロジー 書影
計算で身につくトポロジー

 本書では,大学の数学の知識を仮定しないで,トポロジーの基本的な概念である,単体複体のホモロジーと閉曲面の分類定理を初等的な方法で紹介する。トポロジーに関しては絵でわかるものという印象もあり,もちろん全編に渡って図を多用し,直感的な理解を促しているが,諸定理に関しては計算ベースで証明し,理論の美しさを追体験できるようになっている。我々にとって身近なひらがなや漢字といった例も交えつつ,最低限の知識で読めるように構成された,トポロジーの良き入門書となっている。
 前半では1次元単体複体(グラフ)を紹介し,グラフにおけるホモロジー,同相,レトラクションなどを易しく解説する。後半では曲面を紹介し,曲面における同相,ホモロジーをとおして,閉曲面の分類定理,オイラー数などについて解説する。
 トポロジーを理解したい人,ひいては進んだ内容に興味のある高校生にも手に取ってほしい1冊である。

目次

第I部 グラフのホモロジー群

第1章 集合・命題・写像
1.1 集合についての準備
1.2 命題,必要十分条件
1.3 写像

第2章 Z自由加群
2.1 Z自由加群とは
2.2 自由加群の準同型写像
2.3 部分加群
2.4 商加群
2.5 直和

第3章 グラフとチェイン
3.1 グラフの定義
3.2 チェイン
3.3 境界準同型
3.4 1輪体

第4章 複体のホモロジー群
4.1 複体
4.2 ホモロジー群
4.3 グラフのホモロジー群
4.4 具体的な計算例

第5章 グラフ上の道
5.1 グラフの上の道
5.2 道に対応する1チェイン
5.3 道に対応する1チェインの境界
5.4 連結
5.5 連結成分
5.6 連結成分と0次元ホモロジー群

第6章 同相(位相同型)
6.1 同相の定義
6.2 グラフの同相
6.3 同相とホモロジー群
6.4 辺の反転とホモロジー群H1(G)
6.5 辺の細分とホモロジー群

第7章 レトラクション
7.1 レトラクションの定義
7.2 レトラクションと連結成分
7.3 レトラクションとホモロジー

第8章 オイラー数
8.1 オイラー数の定義
8.2 オイラー数とホモロジー群

第9章 完全系列
9.1 複体から複体への写像
9.2 短完全系列
9.3 複体の短完全系列
9.4 連結準同型
9.5 ホモロジー長完全系列
9.6 辺の反転とホモロジー長完全系列
9.7 辺の細分・レトラクションとホモロジー長完全系列


第II部 曲面のホモロジー群と閉曲面の分類

第10章 2次元単体複体
10.1 2次元単体複体の定義
10.2 曲面
10.3 曲面の境界
10.4 境界準同型
10.5 2次元単体複体から決まる複体

第11章 曲面のホモロジー群
11.1 球面S 2のホモロジー群
11.2 アニュラスN 2
11.3 メビウスの帯M 2
11.4 トーラスT 2
11.5 クラインの壺K 2

第12章 2次元単体複体の同相
12.1 2次元単体複体の同相
12.2 2次元単体複体の同相とホモロジー群
12.3 連結和

第13章 曲面の向きと向き付け可能性
13.1 向き付け可能性
13.2 射影平面P 2
13.3 射影平面の連結和
13.4 P 2#T 2

第14章 閉曲面の分類定理
14.1 閉曲面の分類定理
14.2 面数が1の場合への帰着
14.3 辺の列
14.4 連結な閉曲面の辺の列による分類

第15章 閉曲面のホモロジー群
15.1 閉曲面の分類定理に現れる曲面のホモロジー群
15.2 ベッチ数とオイラー数