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正則関数

書籍情報
シリーズ名数学のかんどころ 【36】巻
ISBN978-4-320-11077-9
判型A5 
ページ数196ページ
発売日2018年12月12日
本体価格1,900円
正則関数 書影
正則関数

新刊

 正則関数とは,複素平面上のある領域内の全ての点において複素微分可能な関数のことであり,複素関数論に於いて非常に重要な役割を果たす関数の1つである。
 本書はまず,複素数・複素平面,級数の収束といった基礎知識の復習から始める。その後,簡単な複素関数から正則関数の導入へ歩を進め,正則関数に関する様々なトピック(グリーンの公式,リュービルの定理,一致の定理,最大値の原理など)を取り上げる。
最後に発展的内容への案内を配することで,更に深い領域の学習への橋渡しにも配慮した。複素関数論に関する学習を始めるための第一歩として優れた1冊である。
 なお,同じく複素関数論に於いて重要な役割をもつ関数に「有理型関数」が挙げられるが,これは同著者によるシリーズ37巻『有理型関数』で詳しく説明する。
 両書を併用することで,複素関数論のより広い知識を得ることができるだろう。

目次

第1章 複素数
1.1 複素数
1.2 複素平面
1.3 複素数列の収束と完備性
1.4 複素級数の収束
1.5 開集合
1.6 閉集合

第2章 複素関数と正則関数
2.1 複素関数と偏微分
2.2 複素微分と正則関数
2.3 複素微分可能性の特徴付け
2.4 コーシー・リーマンの関係式(実変数版)
2.5 正則関数の基本的な性質

第3章 双正則写像といくつかの例
3.1 双正則写像
3.2 1次分数変換
3.3 単位円を単位円に写す1次分数変換
3.4 単位円を上半平面に写す1次分数変換
3.5 上半平面を上半平面に写す1次分数変換
3.6 ジューコフスキー変換

第4章 コーシーの定理とコーシーの積分公式
4.1 複素平面内の曲線
4.2 複素積分
4.3 グリーンの公式
4.4 コーシーの定理とコーシーの積分公式

第5章 正則関数の無限回微分可能性と正則関数列
5.1 正則関数がC級かつ任意回複素微分可能なこと
5.2 正則関数列について

第6章 べき級数と正則関数
6.1 べき級数で定義される正則関数
6.2 正則関数のべき級数展開

第7章 正則関数の著しい諸性質
7.1 リュービルの定理
7.2 一致の定理
7.3 最大値の原理

第8章 正則関数の原始関数
8.1 正則関数の原始関数の存在
8.2 原始関数による正則関数の対数の定義
8.3 対数関数
8.4 正則関数の複素べき
8.5 原始関数の調和関数への応用

第9章 さらなる学習への一案内
9.1 正規族
9.2 リーマンの写像定理
9.3 近似定理
9.4 補間定理
9.5 コロナ定理

付録A グリーンの公式について
A.1 簡単な領域での証明
A.2 グリーンの公式(定理4.10)の証明

付録B 補題7.7の証明

問題解答
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