掟破りの数学―手強い問題の解き方教えます― 

書籍情報
ISBN978-4-320-11109-7
判型A5 
ページ数180ページ
発行年月2015年04月
本体価格2,400円
掟破りの数学 書影
掟破りの数学

 問題の解き方というと,ポリアの「問題の解き方」を思い出すが,本書はそれとは一線を画す。数学を現実の問題の中で考える,学ぶという方向である。
 証明なしで,計算なしで,答えを予想する-これが本書の目的である。現実の問題を,アッと言わせるような数学の解釈の転換を使って解いてみせる。それも振り子の振動や流体など,あるレベルの問題を,高校3年生の範囲から大学の範囲の数学までを使って考える。
 計算を使わず微分・積分をする。流体の特殊な問題に対しては,問題を解釈することと現象の事実を見ることによって,方程式の解を見つける。こんな積分の計算方法があったのか,こんなナビエ-ストークスの方程式の解き方があったのかと,驚きを隠せない内容である。
 もっと現実に数学を引き戻さなければならないという著者の考えのもとに書かれた本書は,研究者や技術者になるときに,現実にはどのような工夫をしなければならないか,それをどれだけ学生に伝えられるかという気持ちにあふれている。数学だけではなく,ものの考え方を教えようとする本である。
(Sanjoy Mahajan, Street-Fighting Mathematics: The Art of Educated Guessing and Opportunistic Problem Solving, MIT Press, 2010)

目次

1 次元は語る
1.1 経済:多国籍企業の力
1.2 ニュートン力学:自由落下
1.3 積分を求める
  1.3.1 α の次元を決定する
  1.3.2 積分の次元
  1.3.3 正しい次元で f (α) を計算する
1.4 まとめとさらなる問題

2 シンプルに,シンプルに
2.1 ガウス積分の計算
2.2 平面幾何:楕円の面積
2.3 立体幾何学:ピラミッドを切り取った体積
  2.3.1 シンプルな場合
2.4 流体力学:抗力
  2.4.1 次元を使う
  2.4.2 シンプルな場合
  2.4.3 終端速度
2.5 まとめとさらなる問題

3 ざっくりと
3.1 人口の計算:赤ちゃんは何人?
3.2 積分の見積もり
  3.2.1 1/e の発見的方法
  3.2.2 最大値の半分で全範囲
  3.2.3 スターリングの近似
3.3 導関数の計算
  3.3.1 割線での近似
  3.3.2 割線近似の改良
  3.3.3 近似をかなり良くするためには
3.4 微分方程式の解析:バネの方程式
  3.4.1 次元のチェック
  3.4.2 各項の大きさを見積もってみよう
  3.4.3 レイノルズ数の意味
3.5 振り子の周期の予測
  3.5.1 小さい偏角:シンプルな場合を考える方法の応用
  3.5.2 いろいろな偏角: 次元解析の応用
  3.5.3 大きな偏角,またシンプルな場合を使ってみよう
  3.5.4 偏角の変化:ざっくりとやる方法
3.6 まとめとさらなる問題

4 図で証明
4.1 奇数の和
4.2 算術平均と幾何平均
  4.2.1 記号証明
  4.2.2 図の証明
  4.2.3 応用
4.3 対数の近似
4.4 三角形の二等分
4.5 級数の和
4.6 まとめとさらなる問題

5 主要部をひっぱり出す
5.1 1つまたは複数にかける
5.2 微小部分の変化と低いエントロピーの式
  5.2.1 微小部分の変更
  5.2.2 低いエントロピーの式
  5.2.3 2乗
5.3 一般のべき乗についての微小変化
  5.3.1 わり算のすばやい暗算
  5.3.2 平方根
  5.3.3 四季の理由?
  5.3.4 有効力の限界
5.4 逐次近似:泉の深さ?
  5.4.1 実際の深さ
  5.4.2 深さの近似
5.5 三角関数の積分をやっつける
5.6 まとめとさらなる問題

6 類推
6.1 空間の三角関数:メタンの結合角
6.2 トポロジー:何個の場所が?
6.3 作用素:オイラー-マクローリンの和
  6.3.1 左シフト
  6.3.2 和
6.4 タンジェント方程式の解:超越数の和を扱う
  6.4.1 図と簡単な場合
  6.4.2 主要部分をひっぱり出す
  6.4.3 多項式の類推
6.5 さようなら