常微分方程式の解法

書籍情報
シリーズ名共立講座 数学探検 全18巻 【15】巻
ISBN978-4-320-11188-2
判型A5 
ページ数224ページ
発売日2020年01月14日
本体価格2,500円
常微分方程式の解法 書影
常微分方程式の解法

新刊

 この本は常微分方程式に関する本である。常微分方程式を解く必要に迫られたときにいったい何をどうしたらいいのか,その手続きを解説する。微分方程式とは何なのか,またそれを「解く」とはどんな行為なのかを考えることから始め,線形常微分方程式の解き方や,様々な求積法について学ぶ。
 一般的な固い教科書と,寝ころんで読めるような柔らかい副読本の中間を本書は狙った。求積法や線形系の取り扱い,解の存在と一意性の証明など,常微分方程式の教科書と名乗るのに最低限必要な内容はひと通りカバーしている。その一方で,変数分離法や定数変化法といった定番の解法について,なぜその解法で解けるかを納得してもらうための解説に重きを置いた。
 幾何学的な理解を重視し,ベクトル場を用いた力学系的な解説を行なうことも本書の特徴である。また,応用の場面で実際に目にする常微分方程式には,手で解くのが難しいものや,原理的に解を書き下すことが不可能なものも多く,そのような場面ではコンピュータを用いた取り扱いが求められる。そこで,数式処理・数値計算ソフトウェアを利用した解法も本書では具体的に解説した。
 本書を読むための予備知識としては,線形代数と微分積分学を仮定しているが,完璧に理解している必要はない。むしろ,常微分方程式を解くという具体的な目標のために,ジョルダン標準形やテイラー展開といった基本的なツールがいかに活躍するかを見て,線形代数や微分積分学を学習する動機としてもらいたい。

目次

第1章 常微分方程式とは
1.1 何についての方程式か
1.2 常微分方程式と現象
1.3 解くということ

第2章 常微分方程式を解くための準備
2.1 常微分方程式の種類
2.2 相空間とベクトル場
2.3 ベクトル場が生成する流れ

第3章 求積法
3.1 不定積分と定積分
3.2 単独自励系方程式
3.3 変数分離形
3.4 同次形
3.5 完全微分形
3.6 積分因子
3.7 単独1階線形方程式

第4章 線形常微分方程式
4.1 定数係数線形同次方程式:対角化できる場合
4.2 定数係数線形同次方程式:一般の場合
4.3 変数係数方程式の取り扱い
4.4 定数変化法
4.5 演算子法

第5章 基本定理
5.1 存在と一意性
5.2 初期値とパラメータに関する解の依存性
5.3 解の延長
5.4 直線化定理

第6章 近似解法
6.1 級数解法
6.2 数値解法
6.3 数値解法の誤差について

第7章 力学系入門
7.1 力学系とは
7.2 ヌルクラインの方法
7.3 平衡点の近傍での局所理論
7.4 ポアンカレ・ベンディクソンの定理
7.5 ローレンツ方程式とカオスの発見
7.6 カオスの骨格
7.7 力学系の大域的な計算

第8章 コンピュータの利用
8.1 Wolfram Alpha
8.2 SageMath

問題の解答

参考文献

索引