• ニュースメール
  • アフターサービス
  • 教科書献本のご案内
  • facebook
  • 構造計画研究所

保型形式特論

書籍情報
シリーズ名共立叢書 現代数学の潮流 
ISBN978-4-320-11331-2
判型A5 
ページ数480ページ
発行年月2018年05月
本体価格5,400円
保型形式特論 書影
保型形式特論

 本書は,主として正則ジーゲル保型形式に関するトピックスで,比較的基礎的と思われる保型形式論の内容の一部を,なるべく予備知識を仮定せずに定義から始めて詳しく解説していく特徴的な書である。
 特に,テータ定数やテータ関数,保型的微分作用素,およびその応用として得られる保型形式環の例などについては,比較的詳しくとりあげている。

 また,分数ウェイトの保型形式や不定符号2次形式のテータ関数・ゼータ関数といった,既刊書ではあまりとりあげられてこなかった新しい内容も詳しく解説している。
 特に本著では,一変数のテータ関数に関する乗法因子の公式における一般のSL(2,Z)の元に対する記述,エータ関数における同様の記述,不定符号2次形式に対してジーゲルの定義したゼータ関数の既知の関数での記述などを盛り込んでいる。

目次

第1章 ジーゲル保型形式の基礎
1 領域と群と保型因子
2 ジーゲル上半空間
3 群の生成元
4 保型因子
  4.1 一般の保型因子
  4.2 実際的な保型因子と保型形式
5. Sp(n, Z) の通約群
6. フーリエ展開
7. Koecher原理
8. カスプ形式の定義
9. 内積とノルム

第2章 ジーゲル保型形式とテータ関数
1. ポアソンの和公式
  1.1 ヒルベルト空間とフーリエ級数
  1.2 ポアソンの和公式
2. テータ関数と多重調和多項式
  2.1 テータ関数
3. 多重調和多項式を係数に持つテータ関数
  3.1 2次形式
  3.2 多重調和多項式
  3.3 テータ関数の構成
4. テータ関数とテータ定数
  4.1 テータ関数の変換公式
  4.2 生成元の作用
  4.3 別証明
  4.4 ガウスの和の公式
  4.5 κ(M) の公式
  4.6 デデキントのエータ関数

第3章 ジーゲル保型形式上の微分作用素
1. 問題の設定
2. ジーゲル保型形式と微分作用素
3. 微分作用素と多重調和多項式上の表現
  3.1 多重調和多項式への作用とテンソル
  3.2 テンソルについての復習
4. 具体的な微分作用素の例
  4.1 場合(I) でr = 2のとき
  4.2 具体例:場合(II)
  4.3 r ≧ 3の例
5. 微分の簡単な公式集

第4章 ヤコービ形式の理論
1. ヤコービ形式の導入
  1.1 スカラー値のヤコービ形式
  1.2 ベクトル値ヤコービ形式
  1.3 テータ展開
  1.4 Koecher原理
  1.5 半整数ウェイトのジーゲル保型形式とヤコービ形式
2. 一般ベクトル値ヤコービ形式
  2.1 定義
  2.2 両者の関係
3. ヤコービ形式のテイラー展開と微分作用素

第5章 1 変数のアイゼンシュタイン級数
1. アイゼンシュタイン級数とその展開
2. フーリエ展開
3. 正則なアイゼンシュタイン級数
4. 合同部分群のカスプの代表

第6章 分数ウェイトの保型形式
1. Γの実数ウェイトの保型因子と乗法因子
2. SL2(R) の被覆群
  2.1 被覆群の定義と上半平面上の正則関数への作用
  2.2 SL2(R) の部分群Γの保型因子と被覆群の関係
3. 保型形式の定義
  3.1 カスプの定義
  3.2 正則保型形式の定義とフーリエ展開
4. Γ(N) の分数ウェイトの保型形式
  4.1 構成
  4.2 Γ(N) の乗法因子とSL2(Z) の作用
5. 分数ウェイトの保型形式のなす環
  5.1 保型形式の次元公式
  5.2 保型形式のなす環の具体例
  5.3 N = 9 について
  5.4 N = 11

第7章 不定符号2次形式のゼータ関数と実解析的保型形式
1. テータ関数とガウスの和
2. 2 次形式のジョルダン分解とレベル
  2.1 ジョルダン分解
  2.2 レベルについての考察
3. テータ関数の平均値とゼータ関数
  3.1 指標の公式
  3.2 テータ関数の平均値とジーゲル公式
  3.3 ゼータ関数の定義とジーゲル公式
  3.4 ゼータ関数の具体的な公式
  3.5 非原始的な指標とガウスの和
  3.6 フーリエ展開の具体形とゼータ関数の計算
  3.7 2次形式のガウスの和
4. 大域的なまとめ
5. 2次形式の種と体積に関するジーゲル公式
6. 具体的な体積とゼータ関数の実例

第8章 保型形式の構成
1. アイゼンシュタイン級数(収束の証明)
2. テータ定数による構成
3. 保型形式環
4. 1変数の保型形式環
5. 1次のヤコービ形式の構造定理の例
6. 2次のジーゲル保型形式環
7. 齋藤・黒川リフト
8. 具体的なリフトの例
  8.1 レベル1のリフトの例
  8.2 レベルによるリフトの違い
  8.3 レベル2のリフトの例
9. 微分作用素による構成

参考文献/索引