1足す1から現代数論へ―モジュラー形式への誘い― 

書籍情報
ISBN978-4-320-11383-1
判型A5 
ページ数272ページ
発売予定2019年07月31日
本体価格2,900円
1足す1から現代数論へ 書影
1足す1から現代数論へ

新刊

 足し算は言うまでもなく,日常生活において数を扱う基礎である。また,数を扱う数論は,現代において幅広く,豊かな広がりをみせている。
 本書は,足し算という素朴な概念から,現代数論までをカバーする解説書である。
 まず,有限な範囲での和や「平方の和の問題」の話から始める。この「平方の和の問題」とは,どんな数が二つの平方数の和として表されるか,というものであり,この問題は17世紀にフェルマーが提起し,公開した。彼は数学者メルセンヌへの手紙の中で,証明なしにその問題を解答したことを公表した。この2乗数の和を皮切りに,3乗数の和,4乗数の和,そしてさらに高次のベキ乗和の話へと続いていく。次に有限から無限へと範囲を拡大して,無限級数を用い,ゼータ関数,ベルヌーイ数,母関数などが重要な関数が登場する。最後に,フェルマーの最終定理の証明においても使われるなど,現代数論において欠かせないモジュラー形式の概念を解説し,有限和と無限和の話を結び付ける内容となっている。数学愛好家のような一般向けに,飽きさせない話題を展開しているユニークな書。

目次

序  論 この本はどんな本か
1. 足すこと
2. 興味のある和


第I部 有 限 和

第1章 導  入
1. 最大公約数
2. 合 同 式
3. ウィルソンの定理
4. 平方剰余と非剰余
5. ルジャンドル記号

第2章 二つの平方数の和
1. 解  答
2. 証明はプディングの中にはない
3. 定理2.1と定理2.3の十分条件である部分の証明
4. 証明の詳細

第3章 3個と4個の平方数の和
1. 3個の平方数
2. 幕  間
3. 4個の平方数
4. 4より大きい個数の平方数の和

第4章 高次のベキの和:ウェアリングの問題
1. g(k)とG(k)
2. 4乗ベキの和
3. 高次のベキ乗

第5章 単純な和
1. 最初の段階にもどる
2. 低いベキ乗の和

第6章 ベキ乗の和,代数を用いて
1. 歴  史
2. 平  方
3. 嬉遊曲:二重和
4. 入れ子式の和
5. 帰ってきた入れ子
6. 余談:オイラー・マクローリンの和


第II部 無 限 和

第7章 無限級数
1. 有限幾何級数
2. 無限幾何級数
3. 二項級数
4. 複素数と関数
5. 無限幾何級数,再び
6. 無限和の例
7. e, ex,そしてez
8. ベキ級数
9. 解析接続

第8章 記号の特色
1. 上半平面H
2. 再び指数関数ez
3. q, Δ*, そしてΔ0

第9章 ゼータ関数とベルヌーイ数
1. 神秘的な公式
2. 無 限 積
3. 対数微分法
4. さらに続く二つの小道

第10章 方法を数える
1. 母 関 数
2. 母関数の例
3. 母関数の最後の例


第III部 モジュラー形式とその応用

第11章 上半平面
1. 復  習
2. 帯
3. 幾何学とは何か?
4. 非ユークリッド幾何学
5. 群
6. 行 列 群
7. 双曲的非ユークリッド平面の運動群

第12章 モジュラー形式
1. 術  語
2. SL2(Z)
3. 基本領域
4. ついにモジュラー形式
5. 変換特性
6. 増大条件
7. 要  約

第13章 モジュラー形式はどのぐらいたくさんあるのか?
1. 無限集合の数え方
2. MkSkはどのぐらい大きいのか?
3. q展開
4. モジュラー形式を掛ける
5. MkSkの次元

第14章 合 同 群
1. ほかの重み
2. 整数の重みと高次のレベルをもつモジュラー形式
3. 基本領域とカスプ
4. 半整数の重みをもつモジュラー形式

第15章 分割と平方数の和,再訪
1. 分  割
2. 平方数の和
3. 数値的な例と哲学的考察

第16章 続・モジュラー形式
1. ヘッケ作用素
2. 新しい衣服,古い衣服
3. エル関数L

第17章 まだほかにあるモジュラー形式を扱う事柄:応用
1. ガロア表現
2. 楕円曲線
3. ムーンシャイン
4. より大きな群(佐藤--テイト)
5. 後  記

参考文献

記号表,引用文献,訳者あとがき
1. 記 号 表
2. 引用文献
3. 訳者あとがき

索  引