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多変数の微積分

書籍情報
シリーズ名数学のかんどころ 【38】巻
ISBN978-4-320-11391-6
判型A5 
ページ数200ページ
発行年月2020年07月
本体価格1,900円
多変数の微積分 書影
多変数の微積分

 自然現象や社会現象の多くは,多変数の関数で記述される。本書で扱う「多変数の微積分」は,空間図形の体積や曲面の表面積の計算などの手法として用いられる重積分計算,制約条件のある極値問題の解法といった,理工系分野のみならず経済学や建築学などとも非常に関係が深い題材を扱うためのノウハウが集積されている。また,多変数となることで,1変数よりも更に多様な平面・空間内の曲線や曲面が登場し,豊かな数学的風景が広がっている。これらは,現代数学の縮図でもあり,応用上も大変重要である。
 本書は次のような点に留意して執筆した。(1) 1変数の微積分における基礎知識を想定している。(2) 図形的な理解が大事であるので,定理や例の説明に300点近くの図を挿入した。(3) 主に2変数の関数を扱った。そこで用いるアイデアの多くは,そのまま3変数以上の関数にも通用するものである。(4) 難易度の高い証明は最終章にまとめることで,まずは多変数の微積分の面白さや基本的な計算テクニックを学べる構成にした。また,理解を深めるために例題や演習問題も多く配置している。
 多変数の微積分の仕組みをやさしく学ぶことが出来る入門書である。

目次

序文

第1章 多変数の関数
1.1 2変数関数
1.2 極限,連続関数
1.3 平面の位相
1.4 n次元空間

第2章 偏微分と全微分
2.1 偏微分
2.2 全微分
2.3 合成関数の微分・偏微分,平均値の定理
2.4 方向微分,勾配ベクトル
2.5 高次偏微分
2.6 3変数以上の関数

第3章 極値問題
3.1 極値
3.2 陰関数
3.3 ラグランジュ乗数法
3.4 最大値・最小値
3.5 ヤコビ行列式

第4章 重積分
4.1 長方形上の重積分
4.2 一般の図形上の重積分
4.3 面積
4.4 変数変換
4.5 広義重積分
4.6 3重積分

第5章 線積分と面積分
5.1 なめらかな曲線
5.2 曲線の長さと関数の線積分
5.3 グリーンの定理
5.4 ベクトル場
5.5 空間内の曲面
5.6 なめらかな曲面と接平面
5.7 曲面の表面積

第6章 証明とその背景
6.1 数列の極限
6.2 実数の基本性質
6.3 連続関数の性質
6.4 ダルブーの定理
6.5 積分可能性の証明

問題解答/関連図書/索引