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計算と例題で「なるほど」と分かる確率微分方程式

書籍情報
ISBN978-4-320-11433-3
判型菊 
ページ数392ページ
発行年月2020年04月
本体価格4,400円
計算と例題で「なるほど」と分かる確率微分方程式 書影
計算と例題で「なるほど」と分かる確率微分方程式

 確率解析の理論や研究は,1970年代以降に目覚ましい発展を遂げ,その結果の一つとしてのランダム性のあるビッグデータとその技術は,まさにいま私たちの生活を変えつつある。今にち,偶然数学の手法としての確率解析の学習はますます重要になっている。

 本書は,確率解析の基本,確率微分方程式の要点を「なるほど」と納得できるまでとことん説明した解説書である。内容はまず,確率の基礎概念の説明から始まり,確率変数・確率過程をしっかりと摑んだうえで,ブラウン運動に関する確率積分,そして確率微分方程式の基礎と応用までを解説する。

 構成の特長として,基本概念の説明の後に提示される,書籍全体で200題ほどの例題や章末問題の全てに対して詳解をつけ,要点の確認と反復練習を徹底的に行なうことで,測度論やルベーグ積分を習得していない初学者にも学びやすいようにまとめられている。

目次

はじめに

第1章 標本空間と確率
1.1 いろいろな事象
1.2 確率空間
1.3 確率の性質
1.4 条件付き確率
1.5 事象の独立性
演習問題
 
第2章 確率変数と分布
2.1 確率変数の性質
2.2 確率変数の確率法則
2.3 多変数の分布
2.4 確率変数の独立性
2.5 平均と分散
2.6 確率変数の変換
2.7 確率変数のいろいろな収束
2.8 条件付き平均
演習問題
 
第3章 確率過程からの準備
3.1 確率過程の定義と分布
3.2 確率過程の見本経路
3.3 多変量正規分布とガウス過程
3.4 確率過程のσ-フィールド
3.5 マルコフ過程
3.6 マルチンゲール
演習問題
 
第4章 ブラウン運動
4.1 ランダム・ウォークからブラウン運動へ
4.2 ブラウン運動の基本的な性質
4.3 見本経路の性質
4.4 ガウス過程としてのブラウン運動
4.5 マルチンゲールとしてのブラウン運動
4.6 マルコフ過程としてのブラウン運動
4.7 ドリフトをもつブラウン運動,幾何ブラウン運動
4.8 オルンシュタイン・ウーレンベック過程
4.9 ブラウン運動と偏微分方程式
4.10 多次元ブラウン運動
演習問題
 
第5章 確率積分
5.1 リーマン・スティルチェス積分との違い
5.2 階段過程に対する確率積分
5.3 被積分関数の広いクラスと確率積分
5.4 伊藤過程とその2次変分,コンペンセータ
5.5 伊藤の乗積表と確率積の微分公式
5.6 伊藤の公式
5.7 多次元の確率微分
5.8 マルチンゲールの表現定理と伊藤の表現定理
演習問題

第6章 確率微分方程式
6.1 常微分方程式から確率微分方程式へ
6.2 SDEの解の存在と一意性
6.3 大域解,局所解,弱い意味の解
6.4 ウイーナー積分とガウス過程,指数過程とSDE
6.5 線形確率微分方程式
6.6 確率測度の変換とギルサノフの公式
6.7 ストラトノビッチ積分と確率微分方程式
演習問題
 
第7章 確率微分方程式と拡散過程
7.1 多次元の確率微分方程式
7.2 マルコフ過程および拡散過程としての解
7.3 コルモゴロフの方程式
7.4 ディンキンの公式とファインマン・カッツの公式
7.5 時間的に一様な拡散過程
7.6 ランダム・ウォークとエーレンフェストの壺による拡散過程の導出
7.7 拡散過程に対する不変測度
演習問題

演習問題の解答
参考図書
索引