デーン手術―3次元トポロジーへのとびら― 

書籍情報
シリーズ名ひろがるトポロジー 
ISBN978-4-320-11502-6
判型A5 
ページ数292ページ
発売日2022年01月27日
価格4,730円(税込)
デーン手術 書影
デーン手術

新刊

本書はデーン手術を主要なテーマとして3次元トポロジーを展開する初の本格的な教科書である。デーン手術誕生から最新の話題まで,デーン手術に関する研究テーマがほぼ網羅されており,3次元トポロジーで重要なザイフェルト多様体と双曲多様体,さらにトーラス分解をデーン手術と関連させることでより明確に理解できるよう構成されている。三角形分割問題,基本予想,平滑化問題などTOP圏,PL圏,DIFF圏における多様体の間の関係については独立した章を設け,通常あまり触れられることのない話題についても解説を試みた。

読者対象は学部上級生から研究者までを想定しており,基本的な内容から最先端の内容まで学ぶことができる。証明や細かな議論を飛ばして読めば,デーン手術を中心とした3次元トポロジーの大まかな流れをつかむこともできる。

なお,カラー図版を豊富に用いることで,より理解しやすくなるよう心掛けた。本書で3次元トポロジーの世界を楽しんでほしい。

※本文フルカラー

目次

第1章 3次元トポロジーの舞台
1.1 位相多様体
1.2 位相多様体から滑らかな多様体,PL多様体へ
1.3 多様体の向き

第2章 結び目・絡み目のデーン手術
2.1 3次元球面内の結び目理論I
2.2 デーン手術の定義
2.3 デーン手術と基本群,ホモロジー群

第3章 デーン手術と3次元多様体
3.1 3次元多様体の絡み目のデーン手術による実現
3.2 ねじり操作とデーン手術
3.3 カービー・ロルフセンの手術計算

第4章 3次元多様体の中の圧縮不可能曲面
4.1 圧縮不可能曲面
4.2 圧縮不可能曲面の代数的性質
4.3 3次元多様体の本質的曲面での切り貼り―innermost disk argument
4.4 結び目外部空間内の本質的曲面と境界スロープ

第5章 デーン手術と本質的曲面―グラフ理論からのアプローチ
5.1 曲面の交わりからグラフへ
5.2 グラフ上での言葉の定義
5.3 シャールマンサイクルの幾何的意味
5.4 シャールマンサイクルの見つけ方
5.5 具体的問題への応用

第6章 ザイフェルト多様体
6.1 ザイフェルト多様体の定義と用語の準備
6.2 ザイフェルト不変量,ザイフェルト多様体の基本群
6.3 ザイフェルト多様体内の本質的曲面
6.4 有理タングルとモンテシノストリック

第7章 3次元多様体の素分解とトーラス分解
7.1 3次元多様体の素分解
7.2 ハーケンの有限性定理
7.3 3次元多様体のアトロイダル分解とトーラス分解

第8章 3次元双曲多様体
8.1 3次元双曲多様体の展開写像とホロノミー表現
8.2 サーストンの双曲化定理
8.3 曲面の自己同相写像とマッピングトーラス

第9章 ザイフェルト多様体 vs. 双曲多様体
9.1 サーストン・ペレルマンの幾何化定理とトーラス分解
9.2 3次元球面内の結び目理論II

第10章 デーンフィリングと3次元多様体の諸構造
10.1 ザイフェルト多様体のデーンフィリング
10.2 双曲多様体のデーンフィリング
10.3 トロイダル多様体のデーンフィリング

第11章 ザイフェルト多様体を生み出すデーン手術
11.1 ザイフェルト手術で得られるザイフェルト多様体
11.2 ザイフェルト手術であることの確認方法

第12章 ザイフェルト手術からなるネットワーク
12.1 研究の動機―HowからWhyへ
12.2 ザイフェルターとザイフェルト手術のネットワーク
12.3 ザイフェルト手術ネットワークの組み合わせ的構造
12.4 プリミティブ/ザイフェルト構成では得られないザイフェルト手術
12.5 非対称的ザイフェルター

第13章 デーン手術の古くて新しい問題
13.1 デーン手術の単射性問題
13.2 DKの単射性―コスメティック手術
13.3 Drの単射性―デーン手術による結び目の特徴付け

第14章 最近の話題から―ヒーガードフレアー理論とデーン手術
14.1 L空間とデーン手術
14.2 L空間手術と左順序付け可能手術

付録A 舞台設定―TOP, PL, DIFF
A.1 問題設定
A.2 PL圏とTOP圏
A.3 DIFF圏とPL圏
A.4 3次元トポロジーのTOP, PL, DIFF

読書案内

参考文献

謝辞

索引